تحليل العدد إلى عوامل أوّلية

ما التحليلُ إلى عوامل أوّلية؟

كلُّ عددٍ صحيحٍ أكبرَ من واحدٍ إمّا أوّليٌّ — لا يقبل القسمة إلا على نفسه وعلى الواحد — وإمّا حاصلُ ضربِ أعدادٍ أوّلية، وهذا الحاصلُ فريدٌ إلا في ترتيب كتابته. وهذه هي النظريةُ الأساسية في الحساب، والتحليلُ هو إيجادُه: فـ360 هو 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5، ويُكتب عادةً 2³ × 3² × 5، ولا تركيبةَ أخرى من الأوّليات تعطي 360.

وهي العمليةُ الكامنةُ تحت كثيرٍ من الحساب اليوميّ. فاختصارُ الكسر حذفُ عواملَ أوّليةٍ مشتركة. والمقامُ المشتركُ الأصغر يُبنى من أوّليات كلّ مقام بأخذ أعلى قوّةٍ لكلٍّ منها. وعددُ القواسم يخرج من التحليل مباشرةً: اضرب كلَّ أُسٍّ زائدَ واحد، فـ360 = 2³ × 3² × 5¹ له 4 × 3 × 2 = 24 قاسمًا، والأداةُ تسردها كلَّها.

وهذه الحاسبةُ تعمل بحسابٍ صحيحٍ مضبوطٍ لا بفاصلةٍ عائمة، فليس ثمّة حجمٌ تصير عنده الأجوبةُ تقريبيةً في صمت. الصق عددًا من أربعين خانةً يكن كلُّ عاملٍ تعطيه صحيحًا تمامًا.

كيف تستعملها

1. اكتب عددًا صحيحًا أو الصقه. تُتجاهل الفواصلُ والمسافاتُ والشَّرَطات السفلية، فعددٌ منسوخٌ من جدولٍ حسابيٍّ يعمل كما هو. أما الكسورُ العشرية وإشارةُ الناقص وصيغةُ الأُسُس فتُرفض بدل أن تُفسَّر تفسيرًا آخر في صمت.
2. اقرأ التحليلَ والقواسم. تظهر الأعدادُ المؤلَّفةُ بصيغة الأُسُس مع كلّ عواملها الأوّلية، ومعها عددُ القواسم، وكلُّ القواسم حين تكون القائمةُ معقولةَ الطول. أما العددُ الأوّليُّ فيُقال عنه إنه أوّليٌّ فحسب.
3. إن قالت إنها لم تُنهِ فصدّقها. الأعدادُ العسيرةُ تبلغ حدَّ العمل فتخبرك الأداةُ بذلك، وتُظهر ما وجدته وما بقي. ويعرض الزرُّ بحثًا أطول؛ فإن أخفق هو أيضًا فالعددُ خارجٌ حقًّا عمّا يقدر عليه متصفحٌ في زمنٍ معقول.

لماذا تُعجزها بعضُ الأعداد، ولماذا ذاك هو المقصود

التحليلُ أيسرُ كثيرًا في بعض الأعداد منه في غيرها، والفرقُ ليس في الحجم. فإخراجُ الأوّليات الصغيرة يحسم أكثرها في الحال، لأنّ أكثر الأعداد له عاملٌ صغير: فمن أربعين عددًا عشوائيًّا من أربعين خانةً يتحلّل أوسطُها في نحو سُدس ثانية. والعسيرُ هو عددٌ بلا عاملٍ صغيرٍ البتّة: شبهُ أوّليّ، حاصلُ ضربِ عددين أوّليين كبيرين لا غير.

والطريقةُ الساذجةُ تجلّي ذلك. فالقسمةُ بالتجربة تجرّب كلَّ مرشّحٍ حتى الجذر التربيعيّ، فتتضاعف كلفتُها كلَّ خانتين تقريبًا: فعلى الجهاز الذي بُنيت عليه هذه الصفحة استغرق شبهُ أوّليٍّ من عددين ذوَي عشر خاناتٍ ثلاثَ ثوانٍ، ومن عددين ذوَي إحدى عشرة خانةً ثلاثَ دقائقَ ونصفًا. وتستعمل هذه الأداةُ بدلًا من ذلك خوارزميةَ رو لبولارد، التي حوّلت تلك الحالةَ نفسَها من 212 ثانيةً إلى 68 جزءًا من الألف — ثلاثُ مراتبَ عشرية، بخوارزميةٍ تتّسع لها عشرون سطرًا.

غير أنّ رو تزحزح الجدارَ ولا تزيله. فشبهُ أوّليٍّ من عددين ذوَي ثلاث عشرة خانةً يظلّ خارج متناول لسان متصفح، وليس هذا نقصًا يُعتذر عنه، بل هو أساسُ شفرة المفتاح العلنيّ كلِّه: فمفاتيحُ RSA أشباهُ أوّليّاتٍ اختيرت تحديدًا لأنّ ضربَ عددين أوّليين كبيرين يسير، ونقضَه ليس كذلك. فالأعدادُ التي تحرس مصرفك على شاكلة العدد الذي تستسلم له هذه الصفحة، لكنها أكبرُ بكثير.

ولهذا كان الحدُّ هنا ميزانيةَ عملٍ لا سقفَ خانات. فسقفُ الخانات يخطئ في الاتجاهين: يرفض عددَ الأربعين خانةً الذي يتحلّل في جزءٍ من الألف، ويقبل عددَ الخمس والعشرين الذي يستغرق ثوانيَ. أما عدُّ الجهد فيعني أنّ الأداةَ تقف حين يصير العملُ غيرَ معقول، مهما بدا العدد، وتُبلّغ بصدقٍ بدل أن تجمّد اللسان.

حدودٌ صريحة

حين يقف البحثُ مبكّرًا يبقى كلُّ ما يُعرض صحيحًا. فالعواملُ التي وُجدت عواملُ أوّليةٌ لعددك حقًّا، وما بقي لم يُفكَّك فحسب. اضرب العواملَ المعروضةَ في الباقي يعُد إليك عددُك تمامًا — وهذه الخاصّةُ تصدق عند كلّ ميزانية، وهي أشدُّ ما تفحصه الاختبارات، لأنّ جوابًا جزئيًّا يتظاهر بالاكتمال أسوأُ بكثيرٍ من جوابٍ يعترف بأنه توقّف.

والأوّليةُ يحسمها اختبارُ ميلر-رابن بمجموعةٍ ثابتةٍ من اثني عشر شاهدًا. وهذه التركيبةُ مبرهنٌ على صحّتها لكلّ عددٍ دون نحو 3.3 × 10²⁴، وهو يغطّي كلَّ ما ستتلقّاه هذه الأداةُ عمليًّا؛ وفوق ذلك تصير اختبارًا احتماليًّا لا برهانًا، واحتمالُ الخطأ ضئيلٌ جدًّا لا معدوم. وقلَّ من الحاسبات من يقول على أيّ جانبٍ من هذا الخطّ هو.

وللصفر والواحد جوابان خاصّان بدل نتيجةٍ فارغة. فالصفرُ لا تحليلَ له، إذ يقسمه كلُّ عدد. والواحدُ ليس أوّليًّا ولا مؤلَّفًا — فليس له عاملٌ أوّليٌّ البتّة — وهذه حقيقةٌ عن التعريف لا سهو، وهي سببُ بدء النظرية الأساسية من الاثنين.

وقائمةُ القواسم محدودةٌ في العرض، لأنّ عددًا كثيرَ القواسم قد تكون له آلاف، وعرضُها كلِّها لا يفيد أحدًا. أما العددُ فوقها فهو المجموعُ الحقيقيُّ دائمًا، محسوبًا من الأُسُس لا بعدِّ ما يظهر.

لماذا هي مجانية؟

لأن تشغيلها لا يكلّف شيئًا. فكلُّ الحساب يجري في متصفحك بدعمه الأصيل للأعداد الصحيحة الكبيرة — لا يُرفع شيء، ولا يرى أيُّ خادمٍ أعدادك، ولا حسابَ ولا حدَّ لعدد ما تفحصه.

والمحرّكُ مقابَلٌ بمحلِّلٍ كُتب استقلالًا بلغةٍ أخرى، وبما هو أقوى من أيّ تنفيذٍ مرجعيّ: فالتحليلُ يُتحقَّق منه بضربه رجوعًا، والاختباراتُ تفعل ذلك عند كلّ ميزانية عملٍ حتى الصفر. واثنان من العيوب التي أمسك بها هذا الفحصُ كانا من النوع الخطر بعينه: جوابٌ جزئيٌّ مقدَّمٌ على أنه كامل، وباقٍ أُعلن أنه أوّليّ.