محوّل الأساس العددي

ما محوّل الأساس العددي؟

الأساس هو عدد الأرقام التي تعدّ بها قبل أن تحمل. فللعشري عشرة، وللثنائي اثنان، وللست عشري ستة عشر، مستعينًا بالحروف من a إلى z حين تنفد الأرقام. والعدد نفسه لا يتغير أبدًا، وإنما تتغير كتابته: فالخمسة والعشرون هي 25 في العشري و11001 في الثنائي و19 في الست عشري، وثلاثتها كمية واحدة.

وتحويل الأعداد الصحيحة عمل آلي تصيب فيه كل حاسبة. وإنما تبدأ الطرافة عند الكسور، لأن كون الكسر ينتهي نهاية أنيقة ليس صفة في العدد، بل صفة في الأساس الذي تكتبه به.

ويعالج هذا المحوّل الأمرين، ويحسب الجزء الكسري حسابًا مضبوطًا. فإن كان النشر لا ينتهي قال ذلك وأظهر الدورة بين قوسين، بدل أن يقرّب إلى عدد اعتباطي من المنازل ويدعك تظن أن ذلك هو الجواب.

طريقة الاستعمال

1. اكتب قيمتك. الأرقام من 0 إلى 9 ثم الحروف من a إلى z، مع إشارة سالب اختيارية وجزء كسري اختياري. ويُرفض أي رقم لا يملكه أساس المصدر بدل أن يُقرأ خطأً في صمت: فالـ2 ليس رقمًا ثنائيًا، ومعاملته كذلك تعطي جوابًا واثقًا وخاطئًا.
2. حدّد الأساسين. أي أساس من 2 إلى 36، بكتابة رقم أو بأزرار 2 و8 و10 و16 السريعة. وزر «تبديل» يعكسهما وينقل الناتج معه إذا كان منتهيًا.
3. اقرأ الناتج وما يخبرك به. تحت الجواب تبيّن اللوحة أينتهي العدد في ذلك الأساس، وكم رقمًا في دورته إن لم ينتهِ، ومن أي الأعداد الأولية بُني الأساس، وهي الحقيقة التي تحسم كل شيء.

انتهاء العدد حقيقة عن الأساس

تحكم هذا كله قاعدة واحدة: ينتهي الكسر في أبسط صورة عند الأساس b إذا كانت كل عوامل مقامه الأولية تقسم b أيضًا، لا غير. فالعشري ينتهي مع الأعشار والأثمان والأجزاء من أربعين لأن 10 = 2 × 5 وتلك المقامات مبنية من اثنينات وخمسات، ولا ينتهي مع الأثلاث لأن الثلاثة ليست منها.

والنتيجة أطرف من القاعدة. فالثنائي والثماني والست عشري بينها عامل أولي واحد هو 2، ولذلك **تنتهي عند الكسور نفسها بالضبط**. فتحويل قيمة من الثنائي إلى الست عشري لا يمكن أن يجعل نشرًا دوريًا نشرًا أنيقًا، وقد تُحقق من ذلك هنا على خمسة آلاف مقام دون استثناء واحد. وهذا يخالف الشعور الشائع بأن الست عشري أدقّ أو ألطف من الثنائي: فهما لهذا الغرض سواء.

وبعدّ المقامات من 1 إلى 10,000 التي تعطي نشرًا منتهيًا: يبلغ الأساس 2 أربعة عشر، ويبلغ الأساسان 8 و16 الأربعة عشر نفسها. ويبلغ الأساس 10 ثمانية وأربعين، ولا فضل له إلا أنه يضم العدد الأولي 5. ويبلغ الأساس 12 سبعة وستين، لأن امتلاك الثلاثة أنفع من امتلاك الخمسة، وهذه حجة النظام الاثني عشري كلها في رقم واحد.

والمثال الذي لقيه كل أحد دون أن يُخبَر بسببه هو 0.1. فهو في العشري منتهٍ بحكم البناء، وفي الثنائي **0.0(0011)**، أي الأرقام الأربعة 0011 مكررة بلا نهاية، وهذا بعينه سبب عجز الفاصلة العائمة الثنائية عن حفظ العُشر، وسبب أن 0.1 + 0.2 تخطئ 0.3 خطأً مشهورًا. وفي الست عشري هو 0.1(9)، دوري للسبب نفسه. وفي المقابل فالثلث، وهو المثال المعتاد على العدد الذي «لا يخرج»، يساوي **0.1** بالضبط في الأساس 3.

حدود معلنة بصراحة

قد تطول الدورة طولًا شديدًا، إذ تبلغ المقام ناقص واحد، فالكسر ذو المقام الكبير قد يتكرر آلاف الأرقام. وتحسب هذه الصفحة حتى ألفين ثم تقف، وتقول إنها وقفت بدل أن تعرض نشرًا مقطوعًا على أنه الجواب كله.

وتمتد الأسس من 2 إلى 36 لأن هذا مدى رمزٍ لكل حرف. فالأساس 37 يحتاج رمزًا سابعًا وثلاثين لا يوجد عليه اتفاق، وبدل اختراع رمز تمتنع الأداة. والأرقام لا تفرّق بين كبير الحروف وصغيرها، إذ لا معنى لهذا الفرق هنا.

وهذا حساب كسري مضبوط لا فاصلة عائمة، فالقيمة التي تكتبها هي التي تُحوَّل. ويعني ذلك أيضًا أنه سيخالف التحويل المدمج في أي لغة برمجة مخالفةً بعينها: فدالة ‎parseFloat‎ على 0.1 تعطيك أقرب عدد مضاعف الدقة، وليس هو العُشر، فالمحوّل المبني عليها يعرض النشر الثنائي لذلك العدد لا للعدد الذي كتبته. أما هنا فتحصل على نشر ما كتبته فعلًا.

ويحمل المحرك سبعة وخمسين تحققًا. وأهمها اثنان، وهما رحلتا ذهاب وإياب لا جدولا إجابات متوقعة: فكل نشر منتهٍ، إذا كُتب بأساس آخر ثم قُرئ ثانيةً، يجب أن يعيد الكسر المضبوط نفسه؛ وكل نشر دوري يجب أن يُعاد بناؤه إلى القيمة التي جاء منها، بالصيغة المعتادة محسوبةً حسابًا مستقلًا في الاختبار. وتُقابَل قاعدة الانتهاء بصياغة أخرى للحقيقة نفسها، وهي: أتقسم إحدى قوى الأساس المقامَ، على 3,200 حالة.

لماذا هذه الأداة مجانية؟

هي قسمة مطوّلة وضرب مطوّل، تجريان داخل متصفحك أثناء الكتابة. لا يُرفع شيء، ولا حساب يُنشأ، ولا حدّ للاستعمال.

وإن أردت رؤية الفكرة نفسها في الأعداد العشرية المعتادة، فحاسبة الكسور في هذا الموقع تعلّم الدورات بالطريقة نفسها: فهي التقنية عينها والأساس مثبَّت عند عشرة.