Convertisseur de base

Qu’est-ce qu’un convertisseur de base ?

La base, c’est le nombre de chiffres dont on dispose avant de retenir. Le décimal en a dix, le binaire deux, l’hexadécimal seize — en empruntant a à z une fois les chiffres épuisés. Le nombre lui-même ne change jamais ; seule son écriture change. Vingt-cinq s’écrit 25 en décimal, 11001 en binaire et 19 en hexadécimal, et les trois désignent la même quantité.

Convertir des entiers est mécanique et toute calculatrice y parvient. C’est avec les fractions que cela devient intéressant, car le fait qu’une fraction ait une fin nette n’est pas une propriété du nombre : c’est une propriété de la base dans laquelle on l’écrit.

Ce convertisseur traite les deux et calcule la partie fractionnaire exactement. Si le développement est illimité, il le dit et montre la période entre parenthèses, plutôt que d’arrondir à un nombre arbitraire de décimales en vous laissant croire que c’était la réponse.

Comment utiliser le convertisseur

1. Saisissez votre valeur. Chiffres 0 à 9 puis a à z, avec un signe moins facultatif et une partie fractionnaire facultative. Un chiffre absent de la base de départ est refusé plutôt que mal lu en silence : 2 n’est pas un chiffre binaire, et le traiter comme tel donnerait une réponse fausse et sûre d’elle.
2. Réglez les deux bases. N’importe laquelle de 2 à 36, en saisissant un nombre ou via les boutons rapides 2, 8, 10 et 16. « Permuter » les échange et reporte le résultat lorsqu’il est exact.
3. Lisez le résultat et ce qu’il vous apprend. Sous la réponse, le panneau indique si la valeur se termine dans cette base, la longueur de la période sinon, et de quels nombres premiers la base est faite — le fait qui décide de tout.

Qu’un nombre se termine est un fait sur la base

Une seule règle gouverne tout cela : une fraction irréductible se termine en base b exactement lorsque tous les facteurs premiers de son dénominateur divisent aussi b. Le décimal se termine pour les dixièmes, les huitièmes et les quarantièmes parce que 10 = 2 × 5 et que ces dénominateurs sont faits de 2 et de 5. Il ne se termine pas pour les tiers, parce que 3 n’en fait pas partie.

La conséquence est plus intéressante que la règle. Le binaire, l’octal et l’hexadécimal n’ont entre eux qu’un seul facteur premier, 2 : ils **se terminent donc exactement sur les mêmes fractions**. Convertir une valeur du binaire vers l’hexadécimal ne peut jamais rendre net un développement périodique, ce qui est vérifié ici sur cinq mille dénominateurs sans une seule exception. Cela contredit l’impression courante que l’hexadécimal serait plus fin ou plus précis que le binaire : de ce point de vue ils sont indiscernables.

En comptant les dénominateurs de 1 à 10 000 qui donnent un développement exact : la base 2 en obtient **14**, et la base 8 et la base 16 exactement les mêmes quatorze. La base 10 en obtient 48, uniquement parce qu’elle apporte le nombre premier 5. La base 12 en obtient 67, parce que posséder 3 est plus utile que posséder 5 — tout l’argument duodécimal tient dans ce chiffre.

L’exemple que chacun a rencontré sans qu’on lui explique pourquoi, c’est 0,1. En décimal il est exact par construction. En binaire il vaut **0,0(0011)** — les quatre chiffres 0011 répétés indéfiniment — ce qui est précisément pourquoi la virgule flottante binaire ne peut pas contenir un dixième et pourquoi 0,1 + 0,2 rate 0,3. En hexadécimal il vaut 0,1(9), périodique pour la même raison. Tandis qu’un tiers, l’exemple type du nombre qui « ne tombe pas juste », vaut exactement **0,1** en base 3.

Limites assumées

Une période peut être très longue — jusqu’au dénominateur moins un — si bien qu’une fraction à grand dénominateur peut se répéter sur des milliers de chiffres. Cette page en calcule jusqu’à deux mille puis s’arrête, et dit qu’elle s’est arrêtée au lieu de présenter un développement coupé comme s’il était la réponse entière.

Les bases vont de 2 à 36 parce que c’est jusque-là qu’un symbole par lettre suffit. La base 37 exigerait un trente-septième symbole, dont aucun ne fait consensus : plutôt que d’inventer une notation, l’outil s’abstient. Les chiffres ne distinguent pas la casse, cette différence n’ayant ici aucun sens.

Il s’agit d’arithmétique rationnelle exacte, non de virgule flottante : la valeur que vous saisissez est celle qui est convertie. Cela implique aussi une divergence précise avec la conversion intégrée d’un langage : `parseFloat` sur 0,1 renvoie le double le plus proche, qui n’est pas un dixième, si bien qu’un convertisseur bâti dessus vous montrerait le développement binaire de ce double et non celui du nombre écrit. Ici vous obtenez le développement de ce que vous avez réellement tapé.

Le moteur porte 57 assertions. Les deux qui comptent sont des allers-retours et non des tableaux de réponses attendues : tout développement fini, écrit dans une autre base puis relu, doit rendre la fraction exacte identique ; et tout développement périodique doit se reconstruire jusqu’à la valeur dont il provient, via la formule standard calculée indépendamment dans le test. La règle de terminaison est confrontée à un autre énoncé du même fait — une puissance de la base divise-t-elle le dénominateur — sur 3 200 cas.

Pourquoi est-ce gratuit ?

Ce sont une division et une multiplication posées, exécutées dans votre navigateur au fil de la frappe. Rien n’est envoyé, il n’y a pas de compte, et aucune limite.

Si vous voulez voir la même idée en décimales ordinaires, la calculatrice de fractions de ce site signale les périodes de la même façon : c’est la même technique, avec la base fixée à dix.