Convertidor de bases numéricas

Qué es un convertidor de bases

La base es con cuántos dígitos cuentas antes de llevarte una. El decimal tiene diez, el binario dos y el hexadecimal dieciséis, usando de la a a la z cuando se acaban las cifras. El número en sí no cambia nunca; solo cambia su escritura. El veinticinco es 25 en decimal, 11001 en binario y 19 en hexadecimal, y las tres son la misma cantidad.

Convertir números enteros es mecánico y cualquier calculadora lo hace bien. Lo interesante llega con las fracciones, porque que una fracción tenga un final limpio no es una propiedad del número: es una propiedad de la base en la que lo escribes.

Este convertidor hace las dos cosas y calcula la parte fraccionaria de forma exacta. Si el desarrollo es infinito lo dice y muestra el periodo entre paréntesis, en lugar de redondear a un número arbitrario de cifras y dejar que supongas que eso era la respuesta.

Cómo usar el convertidor

1. Escribe tu valor. Dígitos del 0 al 9 y luego de la a a la z, con signo menos opcional y parte fraccionaria opcional. Un dígito que la base de origen no tiene se rechaza en vez de leerse mal en silencio: el 2 no es un dígito binario, y tratarlo como tal daría una respuesta segura de sí misma y equivocada.
2. Fija las dos bases. Cualquiera de la 2 a la 36, escribiendo un número o con los botones rápidos de 2, 8, 10 y 16. «Intercambiar» las invierte y arrastra el resultado cuando es exacto.
3. Lee el resultado y lo que te dice. Bajo la respuesta, el panel indica si el valor termina en esa base, cuántas cifras tiene el periodo si no termina, y de qué primos está hecha la base, que es el dato que lo decide todo.

Que un número termine es un hecho sobre la base

Todo esto lo gobierna una sola regla: una fracción irreducible termina en base b exactamente cuando todos los factores primos de su denominador dividen también a b. El decimal termina con los décimos, los octavos y los cuarentavos porque 10 = 2 × 5 y esos denominadores están hechos de doses y cincos. No termina con los tercios, porque el 3 no está entre ellos.

La consecuencia es más interesante que la regla. El binario, el octal y el hexadecimal comparten un único factor primo, el 2, así que **terminan exactamente con las mismas fracciones**. Convertir un valor de binario a hexadecimal no puede convertir un desarrollo periódico en uno limpio, algo comprobado aquí sobre cinco mil denominadores sin una sola excepción. Eso choca con la sensación habitual de que el hexadecimal es de algún modo más fino o más preciso que el binario: para esto son indistinguibles.

Contando los denominadores del 1 al 10.000 que dan un desarrollo exacto: la base 2 consigue **14**, y lo mismo la base 8 y la 16, los mismos catorce. La base 10 llega a 48, y solo porque incorpora el primo 5. La base 12 llega a 67, porque tener el 3 es más útil que tener el 5, que es todo el argumento duodecimal resumido en un número.

El ejemplo que todo el mundo ha visto sin que le expliquen por qué es el 0,1. En decimal es exacto por construcción. En binario es **0,0(0011)** —las cuatro cifras 0011 repetidas sin fin—, que es justamente por lo que la coma flotante binaria no puede guardar un décimo y por lo que 0,1 + 0,2 no da 0,3. En hexadecimal es 0,1(9), periódico por la misma razón. Y en cambio un tercio, el ejemplo clásico de número que «no sale», es exactamente **0,1** en base 3.

Limitaciones honestas

Un periodo puede ser larguísimo —hasta el denominador menos uno—, así que una fracción con denominador grande puede repetirse durante miles de cifras. Esta página calcula hasta dos mil y se detiene, y dice que se ha detenido en vez de presentar un desarrollo cortado como si fuera la respuesta entera.

Las bases van de la 2 a la 36 porque hasta ahí llega un símbolo por letra. La base 37 necesitaría un trigésimo séptimo símbolo y no hay ninguno acordado, así que en lugar de inventarse una notación la herramienta se abstiene. Los dígitos no distinguen mayúsculas de minúsculas, porque aquí esa diferencia no significa nada.

Esto es aritmética racional exacta, no coma flotante, así que el valor que escribes es el valor que se convierte. Eso implica también que discrepará de la conversión incorporada de un lenguaje de una forma concreta: `parseFloat` sobre 0,1 te da el double más cercano, que no es un décimo, así que un convertidor construido sobre él te enseñaría el desarrollo binario de ese double y no el del número que escribiste. Aquí obtienes el desarrollo de lo que realmente tecleaste.

El motor lleva 57 comprobaciones. Las dos que importan son viajes de ida y vuelta, no tablas de respuestas esperadas: todo desarrollo finito, escrito en otra base y vuelto a leer, debe devolver la misma fracción exacta; y todo desarrollo periódico debe reconstruirse hasta el valor del que salió, con la fórmula estándar calculada de forma independiente en la prueba. La regla de terminación se contrasta con otra formulación del mismo hecho —si alguna potencia de la base divide al denominador— sobre 3.200 casos.

¿Por qué es gratis?

Es división y multiplicación largas, ejecutándose en tu navegador mientras escribes. No se sube nada, no hay cuenta y no hay límite.

Si quieres ver la misma idea en decimales corrientes, la calculadora de fracciones de este sitio marca los periodos igual: es la misma técnica con la base fijada en diez.