حاسبة الانحراف المعياري

ما هي حاسبة الانحراف المعياري؟

تأخذ حاسبة الانحراف المعياري مجموعةً من الأرقام وتخبرك بمقدار تشتّتها. المتوسط يقول أين تقع الأرقام، أما الانحراف المعياري فيقول كم يبتعد الرقم المعتاد عن ذلك المركز. صفّان لهما المعدّل نفسه قد يكونان واقعين مختلفين تمامًا — واحدٌ حصل فيه الجميع على ما بين 68 و76، وآخر حصل نصفه على 40 ونصفه على 100 — والانحراف المعياري هو الرقم الوحيد الذي يفرّق بينهما.

تتميّز هذه الحاسبة بأنها ترفض أن تختار عنك في موضعين. فهي تعرض انحراف العيّنة وانحراف المجتمع جنبًا إلى جنب بدل أن تنتقي أحدهما بصمت، وتعرض طرق الأرباع الثلاث بدل الطريقة التي تصادف أن تعلّمها من كتبها. وفي الحالتين هناك طرقٌ معياريةٌ تمامًا تُعطي أجوبةً مختلفة، وإخفاء الاختيار لا يُلغيه، بل يؤجّل الخلاف إلى اللحظة التي لا يطابق فيها رقمُك رقمَ شخصٍ آخر.

وتفعل الحاسبة شيئًا لم نره في غيرها: تخبرك إن كانت الإجابة التي كنت ستحصل عليها من الصيغة المطبوعة في معظم الكتب تطابق المعروضة أمامك. على البيانات الاعتيادية تطابقها حتى آخر رقم يستطيع الحاسوب حفظه. وعلى بياناتٍ معقولةٍ تمامًا لا تطابقها، وعلى قليلٍ منها لا تُرجع صيغة الكتاب شيئًا على الإطلاق.

كيف تستعمل الحاسبة

1. الصق أرقامك. رقمًا في كل سطر، أو مفصولةً بفواصل أو مسافات أو علامات جدولة. عمودٌ منسوخ مباشرةً من جدول بيانات يعمل كما هو، وكل ما ليس رقمًا يُتخطّى ويُحسب عدده بدل أن يتحوّل صامتًا إلى صفر.
2. اقرأ الانحراف الذي يجيب عن سؤالك. إن كانت أرقامك عيّنةً من مجموعةٍ أكبر — وهي الحالة المعتادة — فخذ انحراف العيّنة. وإن كانت هي المجموعة كاملةً التي تعنيك، فخذ انحراف المجتمع. كلاهما معروض، ومعهما المعامل الدقيق الذي يفصل بينهما.
3. انظر إلى سطر الدقة في الأسفل. يقول لك إن كانت صيغة مجموع المربّعات التقليدية ستُعطي النتيجة نفسها على أرقامك تحديدًا، ويعرض الرقمين معًا حين لا تفعل.

عيّنة أم مجتمع: القسمة على n−1 التي يختلف حولها الجميع

لا يختلف الانحرافان إلا في المقسوم عليه. صيغة المجتمع تقسم مجموع مربّعات الانحرافات على n، وهي الصحيحة حين تكون أرقامك المجموعة كاملةً: كل موظّف في الشركة، كل يوم في الشهر. وصيغة العيّنة تقسم على n−1، وهي الصحيحة حين تكون أرقامك عيّنةً مسحوبةً من شيءٍ أكبر تحاول وصفه.

وسبب هذا التصحيح أن متوسط العيّنة يقع، بحكم بنائه، أقرب إليها من المتوسط الحقيقي، فقياس التشتّت حوله يُقلّل من قدره. والقسمة على n−1 بدل n تعوّض ذلك. هذا هو تصحيح بِسِل، وليس تفصيلًا في التقريب: الجوابان يختلفان بمقدار الجذر التربيعي لـ n مقسومًا على n−1 بالضبط، أي 6.9% عند ثماني قيم، ولا يزال 1.0% عند خمسين. فالحاسبة التي تعرض رقمًا واحدًا دون أن تقول أيّهما مخطئةٌ بنسبة 6.9% في حق من أراد الآخر، ولا تمنحه وسيلةً ليعرف.

وعند الشك، خذ انحراف العيّنة. فكل قياسٍ واقعيٍّ تقريبًا هو عيّنةٌ من شيءٍ لا تستطيع قياسه كاملًا، ولهذا السبب تعتمده كل الحزم الإحصائية افتراضيًا.

ثلاث طرق للأرباع، وثلاثة أجوبة مختلفة

لا يوجد تعريفٌ واحد للربيع، والطرق الشائعة ثلاثٌ لا اثنتان كما يُذكر عادةً. الطريقة الحاصرة تضع الربيع الأول عند الموضع (n+1)÷4 من البيانات المرتّبة، والطريقة الشاملة تضعه عند (n−1)÷4 + 1، أما مفصلا توكي — أي وسيط كل نصف، وهو ما تُعلّمه معظم الكتب المدرسية — فجوابٌ ثالثٌ مختلفٌ عن الاثنين.

على القيم الثماني 2 و4 و4 و4 و5 و5 و7 و9 يساوي الربيع الثالث 6.5 و5.5 و6.0 بحسب الطريقة. والثلاثة صحيحة. جرّب هذه المجموعة من زرّ المثال أعلاه وراقب اختلاف الصفوف الثلاثة.

ويسهل ألّا ينتبه المرء لهذا الخلاف لأن المفصلين يتطابقان مع الطريقة الحاصرة كلما كان عدد القيم فرديًا، فنصف مجموعات البيانات تُخفيه. ويسهل ألّا ينتبه له أيضًا لأن برنامجك اختار عنك سلفًا: جداول البيانات تُقدّم أول طريقتين تحت اسمي دالّتين مختلفتين، ولغات الإحصاء تعتمد افتراضيًا صيغةً رابعةً أو خامسة، ولا ينبّهك أيٌّ منها. فإن لم يطابق مداك الربيعي مدى زميلك، فهذا هو السبب غالبًا.

هل كانت صيغة الكتاب المدرسي ستُصيب؟

تُعطي معظم الكتب صيغةً بمرورٍ واحد للتباين: اجمع المربّعات، واطرح مربّع المجموع مقسومًا على n، ثم اقسم على n−1. وهي مطابقةٌ جبريًا للتعريف، وهي ما تُطبّقه كل الحاسبات تقريبًا لأنها لا تحتاج إلا مرورًا واحدًا ومجمّعَين.

وهي كذلك غير مستقرّة. فهي تطرح عددين كبيرين شبه متساويين، وحين يقتربان بما يكفي يصبح الفرق في معظمه خطأَهما لا غير. وقد قِسنا ذلك بدل افتراضه، لأن الخوف من الفاصلة العائمة مبالغٌ فيه عادةً: على درجات الامتحانات والأسعار والأطوال والرواتب تتفق صيغة الكتاب مع الصيغة المستقرة بخطأٍ مقداره جزءٌ من ألف بليون، أي لا شيء. وعلى قراءات المِجَسّ في المثال الثالث أعلاه — ست قيمٍ حول 1,000,000 تتغيّر بأجزاء من المئة — تُخطئ بنسبة 4.5%. وعلى ست طوابع زمنية يونكس موزّعة على يومٍ كامل يبلغ الخطأ جزأين من مئة مليون؛ قرّب القراءات الست نفسها حتى تمتدّ تسعين ثانية فحسب فيصير الخطأ 6.7%، أي أسوأ ثلاثة ملايين مرة بأرقامٍ ليست أكبر، بل أشدّ تجمّعًا فقط. وعلى القيم الثلاث 1,000,000,000 و1,000,000,001 و1,000,000,002 تُرجع صفرًا تمامًا لبياناتٍ تتغيّر بوضوح، وعلى 100,000,000 و100,000,000.0001 و100,000,000.0002 لا تُرجع شيئًا: الجذر التربيعي لعددٍ سالب.

والذي يحسم هذا ليس كِبَر أرقامك، بل بُعدها عن الصفر مقارنةً بمقدار تغيّرها. فتثبيت هذه النسبة ومسح ثماني مراتب من المقدار يترك الخطأ كما هو، بينما تثبيت التغيّر وإبعاد الأرقام عن الصفر يدفعه من غير المرئي إلى القاتل. فالتحذير المفيد ليس «احذر الأرقام الكبيرة» بل «احذر الأرقام المتجمّعة بعيدًا عن الصفر» — فمقياس حرارة يسجّل 1000.1 و1000.2 و1000.3 لا يحمل أصلًا سوى سبعة أرقام معنوية من إشارةٍ حقيقية.

تستعمل هذه الحاسبة خوارزمية ولفورد، التي تُحدّث متوسطًا جاريًا ولا تُكوّن ذلك الطرح أبدًا، وتُريك ما كانت ستقوله صيغة الكتاب على بياناتك أنت. وبذلك تصير عبارة «أرقامك سليمة» قياسًا لأرقامك لا طمأنةً عامةً عن أرقام غيرك.

أمرٌ ينبغي معرفته قبل اللصق

تُقرأ الفاصلة هنا فاصلًا بين الأرقام، لا علامةَ آلاف. فـ 1,000 تُقرأ رقمين — واحدًا وصفرًا — لا ألفًا. وهذا اختيارٌ مقصود لا سهو: المُدخل قائمة، والفصل بالفاصلة فيها هو العُرف الغالب بفارقٍ كبير، والبديل سيحوّل بصمتٍ فاصلةً عشريةً إلى رقمٍ أكبر ألف مرة. فاحذف فواصل الآلاف قبل اللصق، أو الصق من عمود جدول بيانات فلن يحتوي عليها.

أما الشرطات السفلية فتُتجاهل، فـ 1_000_000 يعمل. وكل ما عدا ذلك مما ليس رقمًا يُتخطّى ويُعرض عدد المتخطّى، حتى لا يتحوّل صفُّ عناوين منسيٌّ أو عمود وحداتٍ إلى صفرٍ صامتٍ يجرّ متوسطك إلى الأسفل.

لماذا هي مجانية؟

كل حسابٍ في هذه الصفحة يجري داخل متصفّحك. أرقامك لا تُرفع ولا تُسجَّل ولا تُخزَّن في أي مكان — وإغلاق التبويب هو كل الحذف اللازم. وهذا يعني أن الصفحة لا تكلّفنا شيئًا لكل زائر سوى بضعة كيلوبايتات من الجافاسكربت، فلا شيء نتقاضى عليه أجرًا.

بلا حساب، وبلا تسجيل، وبلا حدٍّ لكمية البيانات التي تلصقها، وبلا علامةٍ مائية على أي شيء تنسخه.