Calculateur d'écart type

Qu'est-ce qu'un calculateur d'écart type ?

Un calculateur d'écart type prend un ensemble de nombres et vous dit à quel point ils sont dispersés. La moyenne indique où se situent les nombres ; l'écart type indique de combien un nombre ordinaire s'écarte de ce centre. Deux classes ayant la même note moyenne peuvent être des réalités totalement différentes — l'une où tout le monde a entre 68 et 76, l'autre où la moitié a 40 et l'autre moitié 100 — et l'écart type est le seul nombre qui les distingue.

Ce calculateur se distingue en refusant de trancher deux questions à votre place. Il affiche l'écart type d'échantillon et celui de population côte à côte au lieu d'en choisir un en silence, et il affiche les trois méthodes de quartiles plutôt que celle apprise par son auteur. Dans les deux cas, des méthodes parfaitement standard donnent des résultats différents, et masquer le choix ne le supprime pas : cela déplace simplement le désaccord au moment où votre chiffre ne correspondra pas à celui d'un collègue.

Il fait en outre une chose que nous n'avons vue nulle part ailleurs : il vous dit si la réponse qu'aurait donnée la formule imprimée dans la plupart des manuels coïncide avec celle affichée. Sur des données ordinaires elle coïncide jusqu'au dernier chiffre qu'un ordinateur sait retenir. Sur certaines données parfaitement plausibles elle ne coïncide pas, et sur quelques-unes la formule des manuels ne renvoie rien du tout.

Comment utiliser le calculateur

1. Collez vos nombres. Un par ligne, ou séparés par des virgules, des espaces ou des tabulations. Une colonne copiée directement depuis un tableur fonctionne telle quelle, et tout ce qui n'est pas un nombre est ignoré puis comptabilisé, plutôt que transformé silencieusement en zéro.
2. Lisez l'écart type qui répond à votre question. Si vos nombres sont un échantillon d'un ensemble plus large — le cas courant — prenez celui d'échantillon. S'ils constituent le groupe entier qui vous intéresse, prenez celui de population. Les deux sont affichés, avec le facteur exact qui les sépare.
3. Regardez la ligne de précision, tout en bas. Elle indique si la formule classique de la somme des carrés aurait donné le même résultat sur vos nombres, et affiche les deux chiffres lorsque ce n'est pas le cas.

Échantillon ou population : le ÷n−1 dont tout le monde débat

Les deux écarts types ne diffèrent que par le diviseur. La version de population divise la somme des carrés des écarts par n, et convient quand vos nombres sont le groupe entier : chaque salarié de l'entreprise, chaque jour du mois. La version d'échantillon divise par n−1, et convient quand vos nombres sont un échantillon prélevé dans un ensemble plus vaste que vous cherchez à décrire.

Cette correction existe parce que la moyenne d'un échantillon est, par construction, plus proche de cet échantillon que ne l'est la vraie moyenne ; mesurer la dispersion autour d'elle la sous-estime donc. Diviser par n−1 plutôt que par n compense ce biais. C'est la correction de Bessel, et ce n'est pas un détail d'arrondi : les deux réponses diffèrent exactement de la racine carrée de n divisé par n−1, soit 6,9 % avec huit valeurs et encore 1,0 % avec cinquante. Un calculateur qui affiche un seul nombre sans préciser lequel se trompe de 6,9 % pour qui voulait l'autre, sans lui donner le moyen de s'en apercevoir.

Dans le doute, prenez celui d'échantillon. Presque toute mesure réelle est un échantillon de quelque chose qu'on ne peut pas mesurer intégralement, et c'est pour cette raison que tous les logiciels de statistiques le retiennent par défaut.

Trois méthodes de quartiles, trois réponses différentes

Il n'existe pas de définition unique du quartile, et il y en a trois d'usage courant plutôt que les deux habituellement citées. La méthode exclusive place le premier quartile à la position (n+1)÷4 des données triées ; la méthode inclusive le place à (n−1)÷4 + 1 ; et les charnières de Tukey — la médiane de chaque moitié, ce qu'enseigne la plupart des manuels du secondaire — constituent une troisième réponse, distincte des deux autres.

Sur les huit valeurs 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 le troisième quartile vaut 6,5, 5,5 et 6,0 selon la méthode retenue. Les trois sont correctes. Essayez cet ensemble avec le bouton d'exemple ci-dessus et regardez les trois lignes diverger.

Le désaccord passe inaperçu parce que les charnières coïncident avec la méthode exclusive dès que l'effectif est impair : la moitié des jeux de données le dissimulent. Il passe aussi inaperçu parce que votre logiciel a déjà choisi pour vous — les tableurs proposent les deux premières sous des noms de fonction différents, les langages statistiques retiennent par défaut une quatrième ou une cinquième variante, et aucun ne vous prévient. Si votre écart interquartile ne correspond pas à celui d'un collègue, c'est généralement la raison.

La formule des manuels aurait-elle donné le bon résultat ?

La plupart des manuels donnent une formule en une seule passe pour la variance : additionnez les carrés, retranchez le carré de la somme divisé par n, divisez par n−1. Elle est algébriquement identique à la définition et c'est ce qu'implémente presque tous les calculateurs, puisqu'elle ne demande qu'une passe et deux accumulateurs.

Elle est aussi instable. Elle soustrait deux grands nombres presque égaux, et lorsqu'ils sont suffisamment proches la différence n'est plus guère que l'erreur des deux. Nous l'avons mesuré plutôt que supposé, car la crainte du calcul en virgule flottante est le plus souvent exagérée : sur des notes d'examen, des prix, des tailles et des salaires, la formule des manuels s'accorde avec la formule stable à une partie sur mille billions près, c'est-à-dire rien du tout. Sur les relevés de capteur du troisième exemple ci-dessus — six valeurs autour de 1 000 000 variant de quelques centièmes — elle se trompe de 4,5 %. Sur six horodatages Unix répartis sur une journée l'erreur est de deux parties sur cent millions ; rapprochez ces six mêmes relevés pour qu'ils tiennent en quatre-vingt-dix secondes et l'erreur atteint 6,7 %, trois millions de fois pire avec des nombres qui ne sont pas plus grands, seulement plus resserrés. Sur les trois valeurs 1 000 000 000 / 1 000 000 001 / 1 000 000 002 elle renvoie exactement zéro pour des données qui varient manifestement, et sur 100 000 000 / 100 000 000,0001 / 100 000 000,0002 elle ne renvoie rien : la racine carrée d'un nombre négatif.

Ce qui décide de tout cela n'est pas la taille de vos nombres mais leur éloignement du zéro rapporté à leur variation. En gardant ce rapport fixe et en balayant huit ordres de grandeur, l'erreur ne bouge pas ; en gardant la variation fixe et en éloignant les nombres du zéro, elle passe d'invisible à fatale. L'avertissement utile n'est donc pas « méfiez-vous des grands nombres » mais « méfiez-vous des nombres regroupés loin du zéro » : un thermomètre qui enregistre 1000,1, 1000,2, 1000,3 ne porte déjà plus que sept chiffres significatifs de signal réel.

Ce calculateur utilise l'algorithme de Welford, qui met à jour une moyenne courante et ne forme jamais cette soustraction, et il vous montre ce qu'aurait dit la formule des manuels sur vos données. Ainsi « vos nombres vont bien » est une mesure de vos nombres, et non une assurance générale portant sur ceux de quelqu'un d'autre.

Une chose à savoir avant de coller

La virgule est lue comme un séparateur, non comme un marqueur de milliers. Ainsi 1,000 est lu comme deux nombres — un et zéro — et non comme mille. C'est un arbitrage assumé et non un oubli : la saisie est une liste, où la séparation par virgule est de loin la convention dominante, et l'autre choix transformerait silencieusement une virgule décimale française en un nombre mille fois trop grand. Retirez vos séparateurs de milliers avant de coller, ou collez depuis une colonne de tableur, qui n'en aura pas.

Les tirets bas sont ignorés, donc 1_000_000 fonctionne. Tout autre élément qui n'est pas un nombre est ignoré et le nombre d'éléments ignorés est affiché, de sorte qu'une ligne d'en-tête oubliée ou une colonne d'unités ne devient jamais un zéro silencieux qui tire votre moyenne vers le bas.

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Pas de compte, pas d'inscription, aucune limite sur la quantité de données collées, et aucun filigrane sur ce que vous copiez.