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Calculadora de Desvio Padrão
Cole uma coluna de números e veja os dois desvios padrão, os três métodos de quartis e se a fórmula do seu livro didático teria dado o resultado certo com os seus dados.
O que é uma calculadora de desvio padrão?
Uma calculadora de desvio padrão pega um conjunto de números e diz o quanto eles estão espalhados. A média diz onde os números ficam; o desvio padrão diz o quanto um número qualquer costuma se afastar desse centro. Duas turmas com a mesma nota média podem ser realidades completamente diferentes — uma em que todo mundo tirou entre 68 e 76, e outra em que metade tirou 40 e metade tirou 100 — e o desvio padrão é o único número que separa as duas.
Esta calculadora se diferencia por recusar duas escolhas em seu lugar. Ela mostra o desvio amostral e o populacional lado a lado, em vez de escolher um em silêncio, e mostra os três métodos de quartis em vez daquele que quem programou aprendeu na escola. Nos dois casos há métodos perfeitamente padrão que dão respostas diferentes, e esconder a escolha não a faz desaparecer: apenas adia a discordância para o momento em que o seu número não bater com o de outra pessoa.
Ela também faz algo que não vimos em nenhuma outra: diz se a resposta que a fórmula impressa na maioria dos livros teria dado bate com a que está na tela. Com dados comuns bate até o último dígito que um computador consegue guardar. Com alguns dados perfeitamente plausíveis não bate, e com uns poucos a fórmula do livro não devolve nada.
Como usar a calculadora
- Cole os seus números. Um por linha, ou separados por vírgulas, espaços ou tabulações. Uma coluna copiada direto de uma planilha funciona como está, e tudo o que não for número é ignorado e contado, em vez de virar zero sem avisar.
- Leia o desvio que responde à sua pergunta. Se os seus números são uma amostra de algo maior — o caso mais comum — use o amostral. Se são o grupo inteiro que lhe interessa, use o populacional. Os dois aparecem, junto com o fator exato que os separa.
- Confira a linha de precisão no final. Ela diz se a fórmula clássica da soma dos quadrados teria produzido o mesmo resultado com os seus números, e mostra os dois valores quando não teria.
Amostral ou populacional: o ÷n−1 sobre o qual todo mundo discute
Os dois desvios diferem apenas no divisor. A versão populacional divide a soma dos quadrados dos desvios por n, e é a certa quando os seus números são o grupo inteiro: cada funcionário da empresa, cada dia do mês. A versão amostral divide por n−1, e é a certa quando os seus números são uma amostra tirada de algo maior que você quer descrever.
A correção existe porque a média de uma amostra fica, por construção, mais perto dela do que a média verdadeira, de modo que medir a dispersão em torno dessa média a subestima. Dividir por n−1 em vez de n compensa isso. É a correção de Bessel, e não é detalhe de arredondamento: as duas respostas diferem exatamente pela raiz quadrada de n dividido por n−1, o que dá 6,9 % com oito valores e ainda 1,0 % com cinquenta. Uma calculadora que mostra um número sem dizer qual está 6,9 % errada para quem queria o outro, sem lhe dar meio de perceber.
Na dúvida, use o amostral. Quase toda medição real é uma amostra de algo que não dá para medir por inteiro, e é por isso que todo pacote estatístico o adota como padrão.
Três métodos de quartis, três respostas diferentes
Não existe definição única de quartil, e há três em uso corrente em vez dos dois que costumam ser mencionados. O método exclusivo põe o primeiro quartil na posição (n+1)÷4 dos dados ordenados; o inclusivo o põe em (n−1)÷4 + 1; e as dobradiças de Tukey — a mediana de cada metade, que é o que a maioria dos livros do ensino médio ensina — são uma terceira resposta, distinta das outras duas.
Nos oito valores 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 o terceiro quartil vale 6,5, 5,5 e 6,0 conforme o método. Os três estão corretos. Experimente esse conjunto no botão de exemplo acima e veja as três linhas divergirem.
A divergência passa despercebida porque as dobradiças coincidem com o método exclusivo sempre que a quantidade de dados é ímpar, então metade dos conjuntos a esconde. E passa despercebida também porque o seu software já escolheu por você: as planilhas trazem os dois primeiros com nomes de função diferentes, as linguagens estatísticas adotam por padrão uma quarta ou quinta variante, e nenhuma avisa. Se a sua amplitude interquartil não bate com a de um colega, esse costuma ser o motivo.
A fórmula do livro didático teria acertado?
A maioria dos livros dá uma fórmula de uma passagem para a variância: some os quadrados, subtraia o quadrado da soma dividido por n, divida por n−1. É algebricamente idêntica à definição e é o que quase toda calculadora implementa, porque precisa de uma passagem só e de dois acumuladores.
Ela também é instável. Funciona subtraindo dois números grandes que são quase iguais, e quando são parecidos o bastante a diferença é sobretudo o erro dos dois. Medimos isso em vez de supor, porque o medo do ponto flutuante costuma ser exagerado: com notas de prova, preços, alturas e salários a fórmula do livro concorda com a estável com erro de uma parte em mil trilhões, ou seja, nada. Com as leituras de sensor do terceiro exemplo acima — seis valores em torno de 1.000.000 variando alguns centésimos — ela erra 4,5 %. Com seis marcas de tempo Unix espalhadas por um dia o erro é de duas partes em cem milhões; junte essas mesmas seis leituras para abrangerem noventa segundos e o erro vira 6,7 %, três milhões de vezes pior com números que não são maiores, apenas mais agrupados. Com os três valores 1.000.000.000 / 1.000.000.001 / 1.000.000.002 ela devolve exatamente zero para dados que claramente variam, e com 100.000.000 / 100.000.000,0001 / 100.000.000,0002 não devolve nada: a raiz quadrada de um número negativo.
O que decide isso não é o tamanho dos seus números, mas a distância deles até o zero comparada ao quanto variam. Mantendo essa proporção fixa e varrendo oito ordens de grandeza, o erro não muda; mantendo a variação fixa e afastando os números do zero, ele vai de invisível a fatal. Então o aviso útil não é «cuidado com números grandes» e sim «cuidado com números agrupados longe do zero» — um termômetro que registra 1000,1, 1000,2, 1000,3 já carrega só sete algarismos significativos de sinal real.
Esta calculadora usa o algoritmo de Welford, que atualiza uma média corrente e nunca forma essa subtração, e mostra o que a fórmula do livro teria dito com os seus dados. Assim, «os seus números estão bem» é uma medição dos seus números, e não uma tranquilidade genérica sobre os de outra pessoa.
Uma coisa a saber ao colar
A vírgula é lida como separador, não como marca de milhar. Então 1,000 é lido como dois números — um e zero — e não como mil. É uma decisão deliberada, não um descuido: a entrada é uma lista, onde separar por vírgula é de longe a convenção dominante, e a alternativa transformaria silenciosamente uma vírgula decimal em um número mil vezes maior. Tire os separadores de milhar antes de colar, ou cole de uma coluna de planilha, que não os terá.
Sublinhados são ignorados, então 1_000_000 funciona. Qualquer outra coisa que não seja número é ignorada e a quantidade ignorada aparece na tela, de modo que uma linha de cabeçalho perdida ou uma coluna de unidades nunca vira um zero silencioso puxando a sua média para baixo.
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