Calculatrice de pourcentage : cinq calculs, un résultat toujours exact

Qu'est-ce qu'une calculatrice de pourcentage ?

Une calculatrice de pourcentage sert à calculer un pourcentage sans repasser par la formule à la main ni risquer une erreur de virgule. Celle-ci regroupe cinq questions différentes derrière cinq modes, chacun avec ses propres champs : combien font P % de X, quel pourcentage une valeur représente d'une autre, quelle est la variation en pourcentage entre deux valeurs, ce que devient un nombre une fois augmenté ou diminué d'un pourcentage donné, et enfin quelle était la valeur de départ quand on ne connaît que le résultat après une hausse ou une baisse.

Vous choisissez le mode qui correspond à votre question, vous entrez les deux nombres, et la réponse s'affiche immédiatement, avec le détail du calcul juste en dessous.

Comment l'utiliser

1. Choisissez votre mode parmi les cinq boutons en haut de l'outil, selon la question que vous vous posez : un pourcentage d'un nombre, un pourcentage entre deux nombres, une variation, une augmentation ou une diminution, ou un pourcentage inverse.
2. Entrez les deux nombres demandés : la virgule est acceptée comme séparateur décimal, et pour les modes d'augmentation ou de diminution, précisez aussi si le pourcentage s'applique à la hausse ou à la baisse.
3. Lisez le résultat : il s'affiche en grand, avec le détail du calcul en dessous, une étiquette « exact » ou « arrondi », et un bouton pour le copier directement.

Pourcentage et points de pourcentage : le piège le plus courant

Deux pièges reviennent sans cesse dès qu'on manipule des pourcentages, et les deux se vérifient avec cet outil.

Le premier, c'est qu'une hausse et une baisse du même pourcentage ne s'annulent pas. 100 augmenté de 10 % donne 110, mais 110 diminué de 10 % donne 99, pas 100, parce que les 10 % de la baisse se calculent sur 110, une base plus grande que les 100 de départ.

Le second, c'est la confusion entre pourcentage et point de pourcentage. Si un taux passe de 5 % à 6 %, c'est une hausse d'un point de pourcentage, mais une augmentation relative de 20 %, puisque 6 est 20 % plus grand que 5. Les deux phrases sont vraies en même temps et ne racontent pourtant pas la même histoire ; c'est l'erreur de pourcentage la plus répandue dans la presse et les rapports chiffrés, où « le taux a bondi de 20 % » et « le taux a gagné un point » se lisent comme équivalents alors qu'ils ne le sont pas. Le mode Variation en pourcentage de cet outil affiche justement l'écart absolu à côté de la variation en pourcentage, pour que les deux nombres restent visibles ensemble et qu'aucun ne masque l'autre.

Un calcul exact, pas juste arrondi au petit bonheur

Un pourcentage est une fraction décimale, et la virgule flottante binaire que les navigateurs utilisent pour tous leurs calculs ne sait représenter exactement qu'une partie de ces fractions : c'est le même défaut qui fait que 0,1 + 0,2 affiche 0,30000000000000004 en JavaScript.

Sur 20 000 paires de nombres aléatoires testées pour un calcul du type « P % de X », avec au plus deux décimales par nombre, le calcul fait naïvement avec l'arithmétique ordinaire s'écarte du résultat exact dans 42,4 % des cas, soit 8 475 fois sur 20 000. Le symptôme est toujours le même : des chiffres parasites après la virgule, là où le résultat exact tient en six décimales ou moins. 1,1 % de 70 donne 0,7700000000000001 au lieu de 0,77. 35 % de 5,7 donne 1,9949999999999999 au lieu de 1,995. 17,5 % de 1,15 donne 0,20124999999999998 au lieu de 0,20125.

Cette calculatrice évite le problème à la racine : chaque nombre saisi est converti en fraction exacte, tous les calculs se font sur ces fractions, et l'arrondi n'intervient qu'une seule fois, à la toute fin, pour l'affichage. C'est ce qui lui permet de répondre à une question que presque aucune autre calculatrice de pourcentage ne pose : le nombre affiché est-il exact ou arrondi ? Ce n'est pas une estimation, c'est une propriété qui se démontre : une fraction irréductible a un développement décimal fini si et seulement si les seuls facteurs premiers de son dénominateur sont 2 et 5, puisque 10 vaut 2 fois 5. Un tiers d'une valeur sera donc toujours signalé comme arrondi, tandis qu'un huitième est exact et s'affiche 0,125.

Quand un arrondi est nécessaire, il s'éloigne de zéro plutôt que de trancher au hasard, la même règle que la fonction ARRONDI des tableurs, si bien que 0,125 arrondi à deux décimales donne 0,13 et ne contredit jamais le tableur ouvert à côté. Arrondir en silence est pire que d'indiquer quels résultats sont arrondis, parce qu'un résultat tombé juste et un résultat approché se ressemblent à l'écran tant que rien ne les distingue. Cette cohérence a été vérifiée par aller-retour sur des milliers de paires aléatoires : calculer P % de X puis redemander quel pourcentage ce résultat représente de X redonne exactement P, et appliquer un pourcentage puis l'inverser redonne exactement la valeur de départ.

Deux cas n'ont aucune réponse, et l'outil le dit clairement plutôt que d'afficher un nombre qui n'existerait pas : demander quel pourcentage une valeur représente de zéro n'a pas de sens, et inverser une baisse de 100 % est impossible, puisque tout devient zéro et que la valeur de départ ne peut plus être retrouvée.

Pourquoi cet outil est gratuit

Tout le calcul tourne dans votre navigateur : les nombres que vous entrez ne sont jamais envoyés à un serveur, il n'y a rien à installer, aucun compte à créer et aucun filigrane sur le résultat. C'est une page qui fait un calcul, sans coût serveur à répercuter sur vous.