حاسبة الكسور

ما حاسبة الكسور؟

حاسبة الكسور تُجري العمليات على أعداد مكتوبة صحيحًا على صحيح، لا على صورة عشرية. اجمع 3/4 و5/6 يكن الناتج 19/12، وهي قيمة مضبوطة واحدة تُكتب عددًا كسريًا 1 7/12. ولا يُقرَّب شيء في أي خطوة، لأن الكسر هو أصلًا الجواب المضبوط للقسمة التي يصفها.

والعمل بالكسور بدل الأعداد العشرية يهم كلما وجب أن يبقى الناتج مضبوطًا: في مضاعفة المقادير في الطبخ، وقياسات الخشب والقماش بالبوصة، ونسب التروس والبكرات، وأزمنة العلامات الموسيقية، وكل تمرين مدرسي يطلب الكسر في أبسط صورة. ويهم كذلك لأن أكثر الكسور لا يمكن كتابته صورة عشرية أصلًا دون ذيل لا ينتهي.

تقبل هذه الحاسبة الأعداد الصحيحة والكسور والأعداد الكسرية في الخانة نفسها، فتقرأ 5 و3/4 و1 1/2 و-2 3/8 جميعًا، ثم تختصر الناتج إلى أبسط صورة وتعرض الصورة العشرية كاملة.

طريقة الاستعمال

1. اكتب القيمتين. يُكتب الكسر هكذا 3/4، والعدد الكسري هكذا 1 1/2 بمسافة بينهما، والعدد الصحيح وحده. والسوالب تعمل، والعدد الكسري السالب يسلب الكمية كلها: فـ-2 3/8 تساوي -19/8 لا -13/8.
2. اختر العملية. جمع أو طرح أو ضرب أو قسمة. وتتحدث النتائج أثناء الكتابة دون أي زر. وإن قسمت على صفر قالت الصفحة ذلك بدل أن تعرض قيمة تسدّ الفراغ.
3. اقرأ الجواب بثلاث صور. تحصل على الكسر في أبسط صورة، وعلى القيمة نفسها عددًا كسريًا، وعلى الصورة العشرية المضبوطة مع وضع الأرقام الدورية بين قوسين. ويظهر إلى جانبها عدد الأرقام المتكررة، فالصفر يعني أن الصورة العشرية منتهية حقًا.

الصورة العشرية التي تخطئ فيها سائر الحاسبات

تعرض حاسبات الكسور كلها صورة عشرية إلى جانب الناتج، ثم تقتطعها. فيصير 1/7 هو 0.142857143. وذلك الرقم ليس 1/7: فإن قرأته كسرًا مرة أخرى كان 142857143/1000000000، وهو عدد آخر لا يشترك معه إلا في أوائل أرقامه. وهو الرقم الوحيد الخاطئ حقًا في كل ما تعرضه هذه الأدوات.

وهذه هي الحال المعتادة لا الشاذة. فالكسر في أبسط صورة لا تنتهي صورته العشرية إلا إذا كانت عوامل مقامه الأولية 2 و5 وحدهما، لأن العشرة اثنان في خمسة، وهذه المقامات تندر سريعًا. فمن أول مئة مقام، خمسة عشر تعطي صورة منتهية. ومن أول ألف، تسعة وعشرون فقط. ومن أول عشرة آلاف، ثمانية وأربعون لا غير، أي 0.48%. فأي كسر تكتبه يكون دوريًا في الغالب الأعم.

ولذلك تحسب هذه الصفحة النشر العشري بدل أن تقرّبه: قسمة مطوّلة تمضي حتى يتكرر باقٍ، وهو لا بد أن يتكرر في خطوات لا تتجاوز المقام. فتُطبع الأرقام السابقة للدورة كما هي، ويوضع الدور بين قوسين، فيظهر 19/12 هكذا 1.58(3) ويظهر 22/7 هكذا 3.(142857). وهذا القوس هو الفرق كله بين صورة عشرية هي الكسر وصورة عشرية قريبة منه.

وتطول الأدوار. فدور 1/p عند عدد أولي تام الدورية هو p ناقص واحد بالضبط، فلـ1/97 ستة وتسعون رقمًا دوريًا، ولـ1/983 اثنان وثمانون وتسعمائة. وتحسبها الأداة كاملة، فإذا جاوزت بضعة آلاف من الأرقام توقفت وأشّرت على الناتج بنقاط بدل أن تدّعي أنها أتمّته.

حدود معلنة بصراحة

التحذير الشائع من الفاصلة العائمة مبالَغ فيه، والأولى أن نكون دقيقين. ففي 20,000 عملية مفردة عشوائية على كسور مقاماتها دون المئة، يستعيد إجراء الحساب بالفاصلة العائمة المعتادة ثم قراءة الناتج الجوابَ المضبوط في كل مرة دون استثناء: صفر إخفاق. فلعملية جمع أو ضرب أو قسمة مفردة، لن تخذلك حاسبة عشرية.

وإنما الضرر في التراكم. فإن سلسلت خمس عمليات لم يعد 49.32% من النتائج يستعيد القيمة المضبوطة، وإن سلسلت عشرين صارت النسبة 100%. وأبسط رحلة ذهاب وإياب على الإطلاق، وهي قسمة واحد على عدد ثم ضربه فيه، لا تعيد واحدًا بالضبط في 1,178 من 9,998 مقامًا بين 2 و9,999، أي نحو واحد من كل ثمانية. فالحساب المضبوط هنا لا يقيك جمعًا معطوبًا، بل يقيك السلاسل، والمقارنات التي ينبغي أن تتساوى فلا تتساوى، وهو قبل ذلك ما يجعل الدور قابلًا للحساب أصلًا: إذ لا يمكن استخراج دور من عدد سبق تقريبه.

وما لا تفعله الأداة: تأخذ قيمتين في كل مرة لا عبارة كاملة، فلا أولوية عمليات تُخطئ فيها؛ ولا تقبل عددًا عشريًا مدخلًا، لأن 0.333333 ملتبس حقًا بين صورة عشرية منتهية وثلث مقرَّب؛ ولا رأي لها في كيفية تقريب الجواب، لأنها لا تقرّبه أبدًا.

ويُختبر النشر العشري في مقابل حقيقتين لا يستعملهما هو نفسه: فالمقام على صورة 2^a × 5^b × باقٍ تكون الأرقام السابقة لدورته بعدد max(a, b) بالضبط، ويكون طول الدور هو الرتبة الضربية للعشرة بالنسبة إلى ذلك الباقي بالضبط. وتُحسب الحقيقتان حسابًا مستقلًا على عدة آلاف من الكسور، مع إعادة بناء كاملة تقرأ كل نشر مطبوع مرة أخرى وتشترط استعادة القيمة الأصلية. سبعة وستون تحققًا في المجموع.

لماذا هذه الأداة مجانية؟

هي عملية حسابية على عددين، تجري داخل متصفحك أثناء الكتابة. ولا يُرسَل شيء إلى أي جهة، ولا حساب يُنشأ، ولا حدّ لعدد العمليات.

والصورة العشرية المضبوطة ليست محجوزة لنسخة مدفوعة كذلك، فهي علة وجود الصفحة.