Calculatrice de fractions

Qu’est-ce qu’une calculatrice de fractions ?

Une calculatrice de fractions effectue des opérations sur des nombres écrits comme un entier sur un autre, et non sous forme décimale. Additionnez 3/4 et 5/6 : le résultat est 19/12, une valeur exacte unique, qui s’écrit 1 7/12 en nombre mixte. Rien n’est approché à aucun moment, car une fraction est déjà la réponse exacte à la division qu’elle décrit.

Travailler en fractions plutôt qu’en décimaux compte dès que le résultat doit rester exact : mise à l’échelle de recettes, mesures de bois et de tissu en pouces, rapports d’engrenages et de poulies, durées des figures de notes, et tout exercice scolaire demandant la fraction irréductible. Cela compte aussi parce que la plupart des fractions ne s’écrivent tout simplement pas en décimal sans une traîne infinie.

Cette calculatrice accepte entiers, fractions et nombres mixtes dans la même case — 5, 3/4, 1 1/2 et -2 3/8 sont tous lus —, réduit le résultat à sa forme irréductible et affiche le décimal en entier.

Comment utiliser la calculatrice de fractions

1. Saisissez les deux valeurs. Une fraction s’écrit 3/4, un nombre mixte 1 1/2 avec une espace, et un entier seul. Les négatifs fonctionnent, et un nombre mixte négatif porte sur la quantité entière : -2 3/8 vaut -19/8, et non -13/8.
2. Choisissez l’opération. Addition, soustraction, multiplication ou division. Les résultats se mettent à jour au fil de la frappe, sans bouton. Une division par zéro est annoncée comme telle plutôt qu’affichée sous forme de valeur de remplissage.
3. Lisez la réponse de trois façons. Vous obtenez la fraction irréductible, la même valeur en nombre mixte, et le développement décimal exact, avec les chiffres périodiques entre parenthèses. Le nombre de chiffres qui se répètent figure à côté : un 0 signifie que le décimal s’arrête vraiment.

Le décimal que les autres calculatrices donnent faux

Toutes les calculatrices de fractions affichent un décimal à côté du résultat, et le tronquent. 1/7 devient 0,142857143. Ce nombre n’est pas 1/7 : relu comme fraction, il vaut 142857143/1000000000, un nombre différent qui commence seulement par les mêmes chiffres. C’est le seul chiffre véritablement faux qu’affichent ces outils.

Et c’est le cas courant, non une exception. Une fraction irréductible n’a un développement décimal fini que si les seuls facteurs premiers de son dénominateur sont 2 et 5, puisque 10 vaut 2 fois 5 — et ces dénominateurs se raréfient vite. Sur les cent premiers dénominateurs, 15 donnent un décimal fini. Sur les mille premiers, 29 seulement. Sur les dix mille premiers, à peine 48, soit 0,48 %. Presque toute fraction que vous écrivez est périodique.

Cette page calcule donc le développement au lieu de l’arrondir : une division posée, poursuivie jusqu’à ce qu’un reste se répète, ce qui survient nécessairement en un nombre d’étapes au plus égal au dénominateur. Les chiffres précédant la période sont écrits tels quels et la période va entre parenthèses : 19/12 s’affiche 1,58(3) et 22/7 s’affiche 3,(142857). Cette parenthèse fait toute la différence entre un décimal qui EST la fraction et un décimal qui en est proche.

Les périodes s’allongent. La période de 1/p pour un nombre premier à période maximale vaut exactement p moins un : 1/97 a 96 chiffres périodiques et 1/983 en a 982. L’outil les calcule intégralement ; passé quelques milliers de chiffres, il s’arrête et signale le résultat par des points de suspension au lieu de faire croire qu’il a terminé.

Limites assumées

La mise en garde habituelle sur la virgule flottante est exagérée, et mieux vaut être précis. Sur 20 000 opérations isolées tirées au hasard, avec des fractions de dénominateur inférieur à 100, effectuer le calcul en virgule flottante ordinaire puis relire le résultat retrouve la réponse exacte à chaque fois — zéro échec. Pour une somme, un produit ou un quotient isolés, une calculatrice décimale ne vous trahira pas.

Le dégât est dans l’accumulation. Enchaînez cinq opérations et 49,32 % des résultats ne retrouvent plus la valeur exacte ; enchaînez-en vingt et c’est 100 %. Et l’aller-retour le plus simple qui soit, diviser un par un nombre puis multiplier de nouveau, ne rend pas exactement 1 pour 1 178 des 9 998 dénominateurs de 2 à 9 999 — environ un sur huit. L’arithmétique exacte ne protège pas ici d’une somme cassée : elle protège des enchaînements, des comparaisons qui devraient être égales et ne le sont pas, et surtout c’est elle qui rend la période calculable. On ne retrouve pas un cycle dans un nombre déjà arrondi.

Ce que l’outil ne fait pas : il prend deux valeurs à la fois plutôt qu’une expression entière, donc aucune priorité d’opérateurs à se tromper ; il n’accepte pas un décimal en entrée, car 0,333333 est réellement ambigu entre un décimal fini et un tiers arrondi ; et il n’a pas d’avis sur la façon d’arrondir la réponse, puisqu’il ne l’arrondit jamais.

Le développement est vérifié contre deux faits qu’il n’utilise pas lui-même : pour un dénominateur de la forme 2^a × 5^b × reste, les chiffres précédant la période sont exactement au nombre de max(a, b), et la longueur de la période est exactement l’ordre multiplicatif de 10 modulo ce reste. Les deux sont calculés indépendamment sur plusieurs milliers de fractions, avec en plus une reconstruction complète qui relit chaque développement affiché et exige de retrouver la valeur d’origine. Soixante-sept assertions au total.

Pourquoi est-ce gratuit ?

C’est de l’arithmétique sur deux nombres, exécutée dans votre navigateur au fil de la frappe. Rien n’est envoyé nulle part, il n’y a pas de compte, et aucune limite au nombre d’opérations.

Le décimal exact n’est pas non plus réservé à une formule payante : c’est la raison d’être de la page.