Calculadora de fracciones

Qué es una calculadora de fracciones

Una calculadora de fracciones opera con números escritos como un entero sobre otro, no como decimales. Suma 3/4 y 5/6 y el resultado es 19/12, un único valor exacto que como número mixto es 1 7/12. En ningún momento se aproxima nada, porque una fracción ya es la respuesta exacta a la división que describe.

Trabajar con fracciones en lugar de decimales importa siempre que el resultado deba seguir siendo exacto: escalar recetas, medidas de madera y tela en pulgadas, relaciones de engranajes y poleas, duraciones de figuras musicales y cualquier ejercicio escolar que pida la fracción irreducible. Importa además porque la mayoría de las fracciones no se pueden escribir como decimal sin una cola infinita.

Esta calculadora admite enteros, fracciones y números mixtos en la misma casilla —5, 3/4, 1 1/2 y -2 3/8 se leen todos—, reduce el resultado a su expresión irreducible y muestra el decimal completo.

Cómo usar la calculadora de fracciones

1. Escribe los dos valores. Una fracción se escribe 3/4, un número mixto 1 1/2 con un espacio, y un entero por sí solo. Los negativos funcionan, y un número mixto negativo niega toda la cantidad: -2 3/8 es -19/8, no -13/8.
2. Elige la operación. Sumar, restar, multiplicar o dividir. Los resultados se actualizan mientras escribes, sin ningún botón. Si divides entre cero, la página lo dice en vez de mostrar un valor de relleno.
3. Lee la respuesta de tres formas. Obtienes la fracción irreducible, el mismo valor como número mixto y el decimal exacto, con las cifras periódicas entre paréntesis. Al lado aparece cuántas cifras se repiten, así que un 0 significa que el decimal termina de verdad.

El decimal que las demás calculadoras dan mal

Todas las calculadoras de fracciones muestran un decimal junto al resultado, y lo truncan. 1/7 se convierte en 0,142857143. Ese número no es 1/7: si lo lees de vuelta como fracción es 142857143/1000000000, un número distinto que solo empieza con las mismas cifras. Es la única cifra realmente errónea que muestran estas herramientas.

Y además es el caso corriente, no una excepción. Una fracción irreducible tiene decimal finito solo cuando los únicos factores primos de su denominador son 2 y 5, porque 10 es 2 por 5, y esos denominadores escasean deprisa. De los cien primeros denominadores, 15 dan decimal finito. De los mil primeros, solo 29. De los diez mil primeros, apenas 48, es decir un 0,48%. Casi cualquier fracción que escribas es periódica.

Por eso esta página calcula el desarrollo en lugar de redondearlo: división larga, continuada hasta que un resto se repite, cosa que ocurre necesariamente antes de tantos pasos como indique el denominador. Las cifras anteriores al ciclo se imprimen tal cual y el ciclo va entre paréntesis, así que 19/12 aparece como 1,58(3) y 22/7 como 3,(142857). Ese paréntesis es toda la diferencia entre un decimal que es la fracción y un decimal que se le parece.

Los periodos se alargan. El periodo de 1/p para un primo de periodo máximo es exactamente p menos uno, así que 1/97 tiene 96 cifras periódicas y 1/983 tiene 982. La herramienta las calcula enteras; pasados unos miles de dígitos se detiene y marca el resultado con puntos suspensivos en vez de fingir que ha terminado.

Limitaciones honestas

La advertencia habitual sobre la coma flotante está exagerada, y conviene ser preciso. Sobre 20.000 operaciones sueltas al azar con fracciones de denominador menor que 100, hacer la aritmética en coma flotante corriente y volver a leer el resultado recupera la respuesta exacta absolutamente siempre: cero fallos. Para una suma, un producto o un cociente sueltos, una calculadora decimal no te va a traicionar.

El daño está en la acumulación. Encadena cinco operaciones y el 49,32% de los resultados ya no recupera el valor exacto; encadena veinte y es el 100%. Y el viaje de ida y vuelta más sencillo que existe, dividir uno entre un número y volver a multiplicar, no devuelve exactamente 1 en 1.178 de los 9.998 denominadores entre 2 y 9.999, alrededor de uno de cada ocho. Aquí la aritmética exacta no protege de una suma rota, sino de las cadenas, de las comparaciones que deberían dar iguales y no lo dan y, sobre todo, es lo que hace calculable el periodo: no se puede recuperar un ciclo de un número que ya ha sido redondeado.

Lo que la herramienta no hace: toma dos valores cada vez en lugar de una expresión completa, así que no hay prioridad de operadores que equivocar; no acepta decimales como entrada, porque 0,333333 es genuinamente ambiguo entre un decimal finito y un tercio redondeado; y no opina sobre cómo debes redondear la respuesta, porque nunca la redondea.

El desarrollo se comprueba contra dos hechos que él mismo no usa: para un denominador de la forma 2^a × 5^b × resto, las cifras anteriores al ciclo son exactamente max(a, b), y la longitud del ciclo es exactamente el orden multiplicativo de 10 módulo ese resto. Ambos se calculan de forma independiente sobre varios miles de fracciones, junto con una reconstrucción completa que vuelve a leer cada desarrollo impreso y exige recuperar el valor original. Sesenta y siete comprobaciones en total.

¿Por qué es gratis?

Es aritmética con dos números y se ejecuta en tu navegador mientras escribes. No se envía nada a ninguna parte, no hay cuenta y no hay límite de operaciones.

El decimal exacto tampoco se reserva para una versión de pago: es la razón de ser de la página.