Calculadora de frações

O que é uma calculadora de frações

Uma calculadora de frações faz contas com números escritos como um inteiro sobre outro, e não como decimais. Some 3/4 e 5/6 e o resultado é 19/12, um único valor exato que, como número misto, é 1 7/12. Nada é aproximado em momento algum, porque uma fração já é a resposta exata da divisão que descreve.

Trabalhar com frações em vez de decimais conta sempre que o resultado tenha de continuar exato: escalar receitas, medidas de madeira e de tecido em polegadas, relações de engrenagens e roldanas, durações de figuras musicais e qualquer exercício escolar que peça a fração irredutível. E conta também porque a maioria das frações não se escreve como decimal sem uma cauda infinita.

Esta calculadora aceita inteiros, frações e números mistos na mesma caixa — 5, 3/4, 1 1/2 e -2 3/8 são todos lidos —, reduz o resultado à forma irredutível e mostra a dízima por inteiro.

Como usar a calculadora de frações

1. Escreva os dois valores. Uma fração escreve-se 3/4, um número misto 1 1/2 com um espaço, e um inteiro sozinho. Os negativos funcionam, e um número misto negativo nega toda a quantidade: -2 3/8 é -19/8, não -13/8.
2. Escolha a operação. Somar, subtrair, multiplicar ou dividir. Os resultados atualizam-se enquanto escreve, sem qualquer botão. Se dividir por zero, a página di-lo em vez de mostrar um valor de preenchimento.
3. Leia a resposta de três maneiras. Obtém a fração irredutível, o mesmo valor como número misto e a dízima exata, com os algarismos periódicos entre parênteses. Ao lado aparece quantos algarismos se repetem, pelo que um 0 significa que a dízima acaba mesmo.

A dízima que as outras calculadoras erram

Todas as calculadoras de frações mostram uma dízima ao lado do resultado, e truncam-na. 1/7 passa a 0,142857143. Esse número não é 1/7: lido de volta como fração é 142857143/1000000000, um número diferente que apenas começa pelos mesmos algarismos. É o único valor verdadeiramente errado que estas ferramentas mostram.

E é o caso comum, não uma exceção. Uma fração irredutível tem dízima finita apenas quando os únicos fatores primos do denominador são 2 e 5, porque 10 é 2 vezes 5, e esses denominadores rareiam depressa. Dos primeiros cem denominadores, 15 dão dízima finita. Dos primeiros mil, apenas 29. Dos primeiros dez mil, somente 48, ou seja 0,48%. Quase qualquer fração que escreva é periódica.

Por isso esta página calcula o desenvolvimento em vez de o arredondar: divisão longa, prosseguida até um resto se repetir, o que sucede forçosamente em não mais passos do que o denominador. Os algarismos anteriores ao ciclo são impressos tal e qual e o ciclo vai entre parênteses, pelo que 19/12 aparece como 1,58(3) e 22/7 como 3,(142857). Esse parêntese é toda a diferença entre uma dízima que é a fração e uma dízima que lhe fica perto.

Os períodos alongam-se. O período de 1/p para um primo de período máximo é exatamente p menos um, pelo que 1/97 tem 96 algarismos periódicos e 1/983 tem 982. A ferramenta calcula-os por inteiro; passados alguns milhares de dígitos para e assinala o resultado com reticências em vez de fingir que terminou.

Limitações assumidas

O aviso habitual sobre a vírgula flutuante é exagerado, e vale a pena ser preciso. Em 20 000 operações avulsas ao acaso com frações de denominador inferior a 100, fazer a aritmética em vírgula flutuante comum e reler o resultado recupera a resposta exata sempre, sem exceção: zero falhas. Para uma soma, um produto ou um quociente isolados, uma calculadora decimal não o vai atraiçoar.

O estrago está na acumulação. Encadeie cinco operações e 49,32% dos resultados já não recuperam o valor exato; encadeie vinte e são 100%. E a ida e volta mais simples que existe, dividir um por um número e voltar a multiplicar, não devolve exatamente 1 em 1178 dos 9998 denominadores entre 2 e 9999 — cerca de um em cada oito. Aqui a aritmética exata não protege de uma soma avariada, mas das cadeias, das comparações que deviam dar iguais e não dão e, sobretudo, é o que torna o período calculável: não se recupera um ciclo de um número já arredondado.

O que a ferramenta não faz: recebe dois valores de cada vez em vez de uma expressão inteira, pelo que não há prioridade de operadores para errar; não aceita decimais como entrada, porque 0,333333 é genuinamente ambíguo entre uma dízima finita e um terço arredondado; e não tem opinião sobre como deve arredondar a resposta, porque nunca a arredonda.

O desenvolvimento é verificado contra dois factos que ele próprio não usa: para um denominador da forma 2^a × 5^b × resto, os algarismos anteriores ao ciclo são exatamente max(a, b), e o comprimento do ciclo é exatamente a ordem multiplicativa de 10 módulo esse resto. Ambos são calculados de forma independente sobre vários milhares de frações, a par de uma reconstrução completa que relê cada desenvolvimento impresso e exige recuperar o valor original. Sessenta e sete verificações ao todo.

Porque é gratuito

É aritmética com dois números e corre no seu navegador enquanto escreve. Nada é enviado para lado nenhum, não há conta e não há limite de operações.

A dízima exata também não fica reservada a uma versão paga: é a razão de ser da página.