حاسبة الأرقام المعنوية

ما الأرقام المعنوية؟

الأرقامُ المعنوية هي خانات العدد التي تحمل خبرًا حقيقيًّا عن دقة القياس. فإذا قرأت مسطرةٌ 12.4 سنتيمترًا فالواحدُ والاثنان والأربعة كلها تقول شيئًا، وللعدد ثلاثة أرقام معنوية. وكتابةُ 12.400 دعوى أقوى: تقول إنك تعرف القيمة إلى جزءٍ من ألفٍ من السنتيمتر، وتلك المسطرة لا تحتمل ذلك.

والقواعدُ قصيرة. فكلُّ خانةٍ غير صفرية تُعدّ. والأصفارُ بين خانتين غير صفريتين تُعدّ. وأما الأصفارُ في الصدارة فلا تُعدّ أبدًا، لأنها إنما تضع الفاصلة العشرية، فـ0.0012 فيه رقمان معنويان لا أربعة. والأصفارُ بعد الفاصلة في الآخر تُعدّ، ولذلك كان في 1.200 أربعةٌ وفي 1.2 اثنان مع تساوي العددين.

والموضعُ الوحيد الذي تنقطع فيه القواعد هو الأصفارُ في آخر عددٍ صحيح، وهو بعينه ما يبحث عنه الناس. وهذه الحاسبةُ تعالجه بأن تأبى الحزر.

كيف تستعملها؟

1. اختر ما تريد. «عُدّها» يخبرك كم في العدد من رقمٍ معنويٍّ وكم فيه من منزلةٍ عشرية. و«التقريب إلى» يعيده مقرَّبًا إلى واحدٍ حتى ستة، بالصيغة العادية والعلمية. و«احسب» يأخذ عددين وعملية.
2. اكتب العدد كما هو مكتوبٌ حقًّا. فالصيغةُ مهمة، فـ1200 و.1200 و1.2e3 ثلاثُ دعاوى مختلفة عن الدقة، والأداةُ تعاملها كذلك. والفراغاتُ وفواصلُ الآلاف تُهمَل، وتُقبل السوالبُ والصيغةُ العلمية.
3. اقرأ القاعدة لا الجواب وحده. ففي وضع الحساب تسمّي اللوحةُ القاعدةَ التي تتبعها العملية وكم أبقت من رقمٍ أو منزلة، فهناك يقع أكثر الخطأ. وتعرض كذلك الناتج غير المقرَّب لترى ما طُرح.

لماذا ليس لـ1200 جوابٌ واحد

اكتب 1200 فلم تقل شيئًا عن كون ذينك الصفرين مقيسين أو حاملين للمنزلة العشرية لا غير. فإن كنت عددت ألفًا ومئتي شخصٍ واحدًا واحدًا فالخانات الأربع معنوية. وإن كنت قرّبت 1183 إلى المئة فاثنتان فقط. والسلسلةُ المكتوبة واحدةٌ في الحالين، فلا قاعدة تستردّ القصد، والحاسبةُ التي تجيب برقمٍ واحد قد اتخذت صامتةً قرارًا كان لك.

وهذه الأداةُ تعطي مدًى: في 1200 ما بين رقمين وأربعة معنوية. ثم تريك ثلاث صورٍ لكتابته يزول بها الشك، لأن العلاج في الصيغة لا في العرف. والصيغةُ العلمية أنظفها، لأن الجزء العشري فيها يحوي بالضبط ما تدّعيه من خانات: فـ1.2 × 10³ اثنان، و1.20 × 10³ ثلاثة، و1.200 × 10³ أربعة. والفاصلةُ في الآخر، كما في .1200، هي الاختصار القديم للأربعة، وبعضُ أدلة الأسلوب يضع خطًّا فوق آخر صفرٍ معنوي.

وانظر أين لا يقع الالتباس. فالفاصلةُ العشرية في أي موضعٍ تثبّت كل خانة، فـ120.0 أربعةٌ بلا خلاف، و0.00120 ثلاثة. والعددُ الصحيح الذي لا ينتهي بصفرٍ ليس ملتبسًا قط. وإنما هي أصفارُ آخر العدد الصحيح المجرَّد التي لا تُقرأ، ولذلك كانت كلُّ قوةٍ من قوى العشرة أسوأ الحالات: فـ1000000 قد يكون رقمًا واحدًا وقد يكون سبعة.

القاعدة تابعةٌ للعملية، وأكثرُ الأدوات تخلط بينهما

الضربُ والقسمة يُبقيان أقلَّ عددٍ من الأرقام المعنوية في المدخلين. والجمعُ والطرح يُبقيان أقلَّ عددٍ من المنازل العشرية. وهما قاعدتان مختلفتان تقيسان أمرين مختلفين، وتبديلُ إحداهما بالأخرى أشيعُ عيبٍ في حاسبات هذا الباب.

ويحسن بيانُ سبب اختلافهما، فبه تُفهم القاعدةُ لا تُحفظ. ففي الضرب تتركّب الشكوكُ النسبية، والأرقامُ المعنوية مقياسُ دقةٍ نسبية. وفي الجمع تتركّب الشكوكُ المطلقة، والمنازلُ العشرية مقياسُ دقةٍ مطلقة. فجمعُ 1000.0 و0.25 يعطي 1000.3، لأن الأول لا يُعرف إلا إلى العُشر؛ ولو طُبّقت قاعدةُ الأرقام المعنوية لقرّبت جوابًا سليمًا تمامًا إلى 1000.

وقد قِسنا مقدار أثر ذلك. فعلى عشرين ألف زوجٍ عشوائيٍّ مكتوبٍ بفاصلةٍ عشرية صريحة، يغيّر تطبيقُ قاعدة الضرب على الجمع الجوابَ في 57.1٪ من المرات. فليست حالةً حديّة، بل هي الأكثر.

وثمة عادةٌ تفوق القاعدتين جميعًا: قرِّب مرةً واحدة في الآخر. فاحمل الدقة كاملةً عبر حسابٍ ذي خطوات ولا تقرّب إلا الجواب الأخير. فالتقريبُ بعد كل خطوة غيّر الناتج في 28.4٪ من سلاسل الثلاثة معاملات التي جرّبناها، بفارقٍ وسيطه 6.7٪. وأكبرُ الفوارق كلها عند رقمٍ معنويٍّ واحد، حيث لا جواب مجاورًا إلا 1 × 10ᵏ و2 × 10ᵏ، فخطوةُ فارقٍ واحدة تكون بالضرورة مضاعفة.

حدودٌ صادقة

الأرقامُ المعنوية عرفٌ لتتبّع الدقة لا قياسٌ لها. وهي قاعدةٌ عمليةٌ تُدرَّس لأنها سريعة ولأنها تعطي عادةً رتبةَ المقدار الصحيحة للشك. وأما تحليلُ الخطأ الحقيقي فينشر الشكوك نفسها، وحين يهمّ الجوابُ حقًّا فذلك ما ينبغي أن تفعله.

وللقواعد فوق ذلك استثناءاتٌ مشهورةٌ في التدريس لا تحاول هذه الأداة حزرها. فالعدُّ التام والثوابتُ المعرَّفة لها أرقامٌ معنوية بلا حد: فإن كان ثمة اثنا عشر شيئًا فالاثنا عشر لا تحدّ شيئًا. وكذلك معاملاتُ التحويل التامة بالتعريف، كـ2.54 سنتيمتر في البوصة. فإن كان أحدُ مدخليك تامًّا فالحدُّ من الآخر وحده، وعليك أن تخبر الأداة بذلك بكتابة خاناتٍ كافية.

والتقريبُ هنا للنصف مبتعدًا عن الصفر، فـ1250 إلى رقمين معنويين يعطي 1300. وذلك يوافق دالة التقريب في كل جدول بيانات، وهو ما يقابل به أكثرُ الناس. وبعضُ الأعراف العلمية تقرّب النصف إلى الزوجي، فيعطي 1200، وليست إحداهما أصوب من الأخرى؛ إنما تختلفان، ولا يظهر الفرق إلا عند نصفٍ تام.

وأخيرًا فالقسمةُ تُمضى إلى ثلاثين خانةً قبل التقريب، فالخارجُ الذي لا ينتهي يُعرض مبتورًا وتقول اللوحةُ ذلك. وما عداه هنا تامٌّ: فالأعدادُ محفوظةٌ سلسلةَ خاناتٍ صحيحة وقوةً للعشرة، ولا يمرّ شيءٌ بالفاصلة العائمة الثنائية في الطريق.

لماذا هي مجانية؟

لأنها حسابٌ على سلاسل خانات، وليس فيها ما يُدفَع. فلا خادم يرى أعدادك: كلُّ شيءٍ يجري في متصفحك، ولا يُرفع شيءٌ مما تكتبه ولا يُسجَّل ولا يُخزَّن في أي مكان.

فلا حساب ولا تسجيل ولا شيء محجوب. والمحرّك ومعه أربعةٌ وسبعون تحققًا في المستودع إلى جوار الصفحة، ومنها اختبارٌ تفاضليٌّ في مقابل وحدة decimal في بايثون نفسها، والمسحان اللذان وراء الأرقام المذكورة أعلاه.