Calculadora de algarismos significativos

O que são algarismos significativos

Os algarismos significativos são os dígitos de um número que trazem informação real sobre a precisão com que foi medido. Se uma régua marca 12,4 centímetros, o 1, o 2 e o 4 estão todos a dizer alguma coisa e o número tem três algarismos significativos. Escrever 12,400 seria uma afirmação mais forte: diz que conhece o valor até ao milésimo de centímetro, coisa que aquela régua não sustenta.

As regras são curtas. Todo o dígito diferente de zero conta. Os zeros entre dígitos não nulos contam. Os zeros iniciais nunca contam, porque apenas colocam a vírgula decimal, portanto 0,0012 tem dois algarismos significativos e não quatro. Os zeros finais depois da vírgula contam, e é por isso que 1,200 tem quatro e 1,2 tem dois ainda que os dois números sejam iguais.

O único caso em que as regras se esgotam são os zeros finais de um número inteiro, e é precisamente esse o caso que as pessoas vão procurar. Esta calculadora resolve-o recusando-se a adivinhar.

Como usar

1. Escolha o que quer fazer. Contá-las diz-lhe quantos algarismos significativos um número tem e quantas casas decimais. Arredondar a devolve-o arredondado a entre um e seis, em notação normal e científica. Calcular recebe dois números e uma operação.
2. Escreva o número tal como ele está mesmo escrito. A notação conta, portanto 1200, 1200. e 1,2e3 são três afirmações diferentes sobre precisão e a ferramenta trata-as como tal. Os espaços e os separadores de milhares são ignorados, e aceitam-se negativos e notação científica.
3. Leia a regra e não só a resposta. No modo calcular o painel diz que regra a operação segue e quantos algarismos ou casas manteve, porque é aí que acontecem quase todos os enganos. Mostra também o resultado sem arredondar, para ver o que foi deitado fora.

Porque 1200 não tem uma resposta única

Escreva 1200 e não disse nada sobre se aqueles dois zeros foram medidos ou se apenas seguram a vírgula decimal no lugar. Se contou 1200 pessoas uma a uma, os quatro algarismos são significativos. Se arredondou 1183 à centena, só dois o são. A cadeia escrita é idêntica nos dois casos, portanto não há regra que recupere a intenção, e uma calculadora que responda com um único número tomou em silêncio uma decisão que era sua.

Esta ferramenta apresenta um intervalo: 1200 tem entre dois e quatro algarismos significativos. Depois mostra-lhe as três maneiras de o escrever que eliminam a dúvida, porque a solução é de notação e não de convenção. A notação científica é a mais limpa, porque a mantissa contém exactamente os algarismos que está a afirmar: 1,2 × 10³ são dois, 1,20 × 10³ são três e 1,200 × 10³ são quatro. Uma vírgula decimal final, como em 1200., é a abreviatura antiga para os quatro, e alguns manuais de estilo usam um traço por cima do último zero significativo.

Repare onde a ambiguidade não aparece. Uma vírgula decimal em qualquer posição fixa todos os algarismos, portanto 120,0 são inequivocamente quatro e 0,00120 são inequivocamente três. Um inteiro que não acaba em zero também nunca é ambíguo. São especificamente os zeros finais de um inteiro seco que não se conseguem ler, e é por isso que cada potência de dez é o pior caso: 1000000 tanto pode ser um algarismo como sete.

A regra depende da operação, e quase todas as ferramentas a trocam

A multiplicação e a divisão mantêm o menor número de algarismos significativos das entradas. A adição e a subtracção mantêm o menor número de casas decimais. São regras diferentes que medem coisas diferentes, e trocá-las é o defeito mais comum em calculadoras deste género.

Vale a pena dizer porque diferem, porque assim a regra fica compreendida e não decorada. Ao multiplicar combinam-se as incertezas relativas, e os algarismos significativos medem precisão relativa. Ao somar combinam-se as incertezas absolutas, e as casas decimais medem precisão absoluta. Somar 1000,0 e 0,25 dá 1000,3, porque o primeiro número só é conhecido até ao décimo; aplicar em vez disso a regra dos algarismos significativos arredondaria uma resposta perfeitamente boa até 1000.

Medimos o quanto isto importa. Sobre 20 000 pares aleatórios escritos com vírgula decimal explícita, aplicar a regra da multiplicação a uma soma muda a resposta em 57,1% das vezes. Não é um caso limite: é a maioria deles.

Há ainda um hábito que vale mais do que qualquer das duas regras: arredonde uma vez, no fim. Leve toda a precisão através de um cálculo de vários passos e arredonde só a resposta final. Arredondar depois de cada passo mudou o resultado em 28,4% das cadeias de três operandos que testámos, com uma diferença mediana de 6,7%. As maiores diferenças estão todas num algarismo significativo, onde as únicas respostas vizinhas são 1 × 10ᵏ e 2 × 10ᵏ, portanto um único passo de diferença é forçosamente o dobro.

Limites honestos

Os algarismos significativos são uma convenção para acompanhar a precisão, não uma medida dela. São uma regra prática que se ensina por ser rápida e por dar normalmente a ordem de grandeza certa para a incerteza. A análise de erros a sério propaga as próprias incertezas, e quando a resposta importa mesmo, é isso que deve estar a fazer.

As regras têm além disso excepções muito ensinadas que esta ferramenta não tenta adivinhar. As contagens exactas e as constantes definidas têm algarismos significativos ilimitados: se há 12 objectos, o 12 não limita nada. O mesmo vale para factores de conversão exactos por definição, como os 2,54 centímetros por polegada. Se uma das suas entradas é exacta, o número limitante vem só da outra, e terá de o dizer à ferramenta escrevendo dígitos suficientes.

Aqui arredonda-se a meio afastando do zero, portanto 1250 a dois algarismos significativos dá 1300. Isso coincide com a função ARRED de qualquer folha de cálculo, que é contra o que a maioria das pessoas está a conferir. Algumas convenções científicas arredondam a meio para o par, o que daria 1200, e nenhuma é mais correcta do que a outra; simplesmente diferem, e a diferença só aparece num meio exacto.

Por fim, a divisão é levada até trinta dígitos antes de arredondar, portanto um quociente que não termina é mostrado truncado e o painel di-lo. Tudo o resto aqui é exacto: os números são guardados como uma cadeia de dígitos inteiros e uma potência de dez, e nada passa por vírgula flutuante binária pelo caminho.

Porque é grátis

Porque é aritmética sobre cadeias de dígitos e não há nada a pagar. Nenhum servidor vê os seus números: tudo corre no seu navegador e nada do que escreve é enviado, registado ou guardado em lado nenhum.

Portanto não há conta, nem registo, nem nada guardado atrás de um. O motor e as 74 verificações que o comprovam estão no repositório ao lado da página, incluindo um teste diferencial contra o próprio módulo decimal do Python e as duas varreduras por trás dos números citados acima.