Calculateur de chiffres significatifs

Que sont les chiffres significatifs ?

Les chiffres significatifs sont les chiffres d’un nombre qui portent une information réelle sur la précision de la mesure. Si une règle indique 12,4 centimètres, le 1, le 2 et le 4 disent tous quelque chose et le nombre compte trois chiffres significatifs. Écrire 12,400 serait une affirmation plus forte : cela prétend connaître la valeur au millième de centimètre près, ce que cette règle ne peut pas soutenir.

Les règles sont brèves. Tout chiffre non nul compte. Les zéros entre chiffres non nuls comptent. Les zéros de tête ne comptent jamais, car ils ne font que placer la virgule : 0,0012 possède donc deux chiffres significatifs et non quatre. Les zéros finaux après la virgule comptent, et c’est pourquoi 1,200 en a quatre et 1,2 en a deux, bien que les deux nombres soient égaux.

Le seul cas où les règles s’arrêtent est celui des zéros finaux d’un entier, et c’est justement le cas que les gens viennent chercher. Ce calculateur le traite en refusant de deviner.

Comment l’utiliser

1. Choisissez ce que vous voulez faire. Les compter vous indique combien de chiffres significatifs et combien de décimales possède un nombre. Arrondir à vous le rend arrondi entre un et six, en notation ordinaire et scientifique. Calculer prend deux nombres et une opération.
2. Saisissez le nombre tel qu’il est réellement écrit. La notation compte : 1200, 1200. et 1,2e3 sont trois affirmations différentes sur la précision, et l’outil les traite comme telles. Les espaces et les séparateurs de milliers sont ignorés, et les négatifs comme la notation scientifique sont acceptés.
3. Lisez la règle autant que la réponse. En mode calcul, le panneau nomme la règle que suit l’opération et le nombre de chiffres ou de décimales conservés, car c’est là que se produisent la plupart des erreurs. Il affiche aussi le résultat non arrondi, pour voir ce qui a été écarté.

Pourquoi 1200 n’a pas de réponse unique

Écrivez 1200 et vous n’avez rien dit sur le fait que ces deux zéros aient été mesurés ou qu’ils maintiennent simplement la virgule en place. Si vous avez compté 1200 personnes une à une, les quatre chiffres sont significatifs. Si vous avez arrondi 1183 à la centaine, deux seulement le sont. La chaîne écrite est identique dans les deux cas : aucune règle ne récupère l’intention, et un calculateur qui répond par un seul nombre a tranché en silence à votre place.

Cet outil affiche plutôt un intervalle : 1200 possède entre deux et quatre chiffres significatifs. Il vous montre ensuite les trois façons de l’écrire qui lèvent le doute, car le remède relève de la notation et non de la convention. La notation scientifique est la plus nette, puisque la mantisse contient exactement les chiffres que vous revendiquez : 1,2 × 10³ en fait deux, 1,20 × 10³ en fait trois, 1,200 × 10³ en fait quatre. Une virgule finale, comme dans 1200., est l’ancienne abréviation pour les quatre, et certains guides typographiques emploient une barre au-dessus du dernier zéro significatif.

Voyez où l’ambiguïté ne surgit pas. Une virgule décimale, où qu’elle se trouve, fixe tous les chiffres : 120,0 en fait donc quatre sans discussion et 0,00120 en fait trois. Un entier qui ne se termine pas par zéro n’est jamais ambigu non plus. Ce sont précisément les zéros finaux d’un entier nu qui restent illisibles, et c’est pourquoi chaque puissance de dix est le pire cas : 1000000 peut valoir de un à sept chiffres significatifs.

La règle dépend de l’opération, et la plupart des outils s’y trompent

La multiplication et la division conservent le plus petit nombre de chiffres significatifs des opérandes. L’addition et la soustraction conservent le plus petit nombre de décimales. Ce sont deux règles distinctes qui mesurent des choses distinctes, et les intervertir est le défaut le plus répandu dans les calculateurs de ce genre.

Il vaut la peine de dire pourquoi elles diffèrent, car la règle devient alors compréhensible plutôt qu’arbitraire. En multipliant, ce sont les incertitudes relatives qui se combinent, et les chiffres significatifs mesurent une précision relative. En additionnant, ce sont les incertitudes absolues, et les décimales mesurent une précision absolue. Additionner 1000,0 et 0,25 donne 1000,3, parce que le premier nombre n’est connu qu’au dixième ; appliquer à la place la règle des chiffres significatifs arrondirait une réponse parfaitement bonne à 1000.

Nous avons mesuré l’ampleur du problème. Sur 20 000 paires aléatoires écrites avec une virgule explicite, appliquer la règle de la multiplication à une somme change la réponse dans 57,1 % des cas. Ce n’est pas un cas limite, c’est la majorité.

Une habitude vaut mieux encore que l’une ou l’autre règle : arrondir une fois, à la fin. Conservez toute la précision au fil d’un calcul en plusieurs étapes et n’arrondissez que la réponse finale. Arrondir après chaque étape a changé le résultat dans 28,4 % des chaînes de trois opérandes testées, avec un écart médian de 6,7 %. Les plus grands écarts se situent tous à un chiffre significatif, où les seules réponses voisines sont 1 × 10ᵏ et 2 × 10ᵏ : un seul pas d’écart y vaut nécessairement un doublement.

Limites honnêtes

Les chiffres significatifs sont une convention pour suivre la précision, non une mesure de celle-ci. C’est une règle empirique enseignée parce qu’elle est rapide et qu’elle donne en général le bon ordre de grandeur pour l’incertitude. Une vraie analyse d’erreurs propage les incertitudes elles-mêmes, et lorsque la réponse compte vraiment, c’est cela qu’il faut faire.

Les règles comportent en outre des exceptions largement enseignées que cet outil ne cherche pas à deviner. Les comptages exacts et les constantes définies possèdent un nombre illimité de chiffres significatifs : s’il y a 12 objets, le 12 ne limite rien. De même pour les facteurs de conversion exacts par définition, comme les 2,54 centimètres par pouce. Si l’une de vos entrées est exacte, le nombre limitant vient de l’autre seule, et il vous faudra le signaler à l’outil en saisissant assez de chiffres.

L’arrondi appliqué ici est au demi supérieur en valeur absolue : 1250 à deux chiffres significatifs donne donc 1300. Cela correspond à la fonction ARRONDI de tous les tableurs, ce à quoi la plupart des gens se réfèrent. Certaines conventions scientifiques arrondissent le demi au pair, ce qui donnerait 1200 ; aucune n’est plus juste que l’autre, elles diffèrent simplement, et l’écart n’apparaît que sur un demi exact.

Enfin, la division est poussée à trente chiffres avant arrondi : un quotient non terminant est donc affiché tronqué et le panneau le signale. Tout le reste est exact ici, les nombres étant conservés sous forme d’une chaîne de chiffres entiers et d’une puissance de dix, sans jamais passer par un flottant binaire.

Pourquoi est-ce gratuit ?

Parce que c’est de l’arithmétique sur des chaînes de chiffres et qu’il n’y a rien à payer. Aucun serveur ne voit vos nombres : tout s’exécute dans votre navigateur, et rien de ce que vous saisissez n’est envoyé, journalisé ni conservé.

Il n’y a donc ni compte, ni inscription, ni rien de réservé. Le moteur et les 74 vérifications qui l’attestent se trouvent dans le dépôt à côté de la page, y compris un test différentiel contre le module decimal de Python et les deux balayages derrière les chiffres cités plus haut.